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（完整版）概率的定义及其确定方法

§1.2概率的定义及其确定方法

在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。

本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。

随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的

可能性是有大小之分的。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，

但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然各种事件发生的可能

性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。

这个数字就称为事件的概率。

然而，对于给定的事件A，该用哪个数字作为它的概率呢？这决

定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A的特殊性，不能一概而

论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的

概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这

些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机

现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的

最一般的定义呢?1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定

义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概

念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公

理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一

个数学分支,并得到迅猛发展.

1.概率的公理化定义

定义1.2.1设Ω为样本空间,F为Ω的某些子集组成的事件域.))((F

AAP∈是定义在事件域F上的实值集函数,如果它满足:

(1)非负性公理对于任一FA∈,有0)(≥AP;

(2)正则性公理1)(=ΩP;

(3)可列可加性公理若,,21AA…,,nA…两两互不相容,则

则称)(AP为事件A的概率,称三元总体),,(PF为概率Ω空间.

概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实

值函数，若在

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事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为

概率。

这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具

体的随机现象无关。对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如

何合理地确定那要依据具

体情况而定。历史上出现的概率的频率定义、古典定义和几何定

义都是特定的场合下有着各自的确定概率的方法。在有了概率的公理

化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。下面介绍这些确

定概率的方法。

2.频率方法

设E为一随机试验，A为其中一事件，在相同条件下将E独立重

复做n次，记

)(An为事件A发生的次数（也叫频数）

，比值称为事件A在这n次试验中的频率。

容易验证频率满足概率的公理化定义中的三条公理。

一般地，如事件A发生的可能性愈大，那么在多次重复试验中,事

件A发生愈频繁即频率)(Afn也愈大.反之,频率)(Afn愈大表明事件

A发生的可能性愈大.因此事件频率的大小与事件发生的可能性大小有

密切的联系.但是还不能把事件的频率就确定为概率,因为频率有“波动

性”.长期实践表明,随着试验次数n的增加,频率)(Afn会稳定于某一

个常数p,这个频率的稳定值是由事件本身决定的并且这样的稳定值满

足