第02讲 集合之间的关系（3种题型）（解析版）_1.docx

第02讲集合之间的关系（3种题型）

【知识梳理】

一．集合的包含关系判断及应用

如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；

【解题方法点拨】

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．

二．子集与真子集

1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．

记作：A?B（或B?A）．

2、真子集是对于子集来说的．

真子集定义：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；

另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A?B，并且B?A时，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】

本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．

三．空集的定义、性质及运算

1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作?．空集的性质：空集是一切集合的子集．

2、注意：

空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．

将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；

袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．

例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝?．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

【解题方法点拨】

解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B?B?A，实际上包含3种情况：

①B＝?；

②B?A且B≠?；

③B＝A；往往遗漏B是?的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．

【命题方向】

一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．

【考点剖析】

一．集合的包含关系判断及应用（共19小题）

1．（2022?杨浦区校级开学）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（）

A．A＝B B．B?A C．A∈B D．A?B

【分析】根据已知求出集合A，然后根据集合的包含关系即可判断求解．

【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，

所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，

所以A?B，

故选：D．

【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的求解能力，属于基础题．

2．（2022?徐汇区校级开学）下列关系中错误的是（）

A．??{0} B．{1，2}?Z C．{（a，b）}?{a，b} D．{0，1}?{1，0}

【分析】根据子集以及真子集的定义对各个选项逐个判断即可求解．

【解答】解：A：根据空集的性质可得??{0}，故A正确，

B：根据集合Z的定义