第九讲 一元二次不等式及其解法和应用-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）(原卷版)_1.docx

【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）

第九讲一元二次不等式及其解法和应用

【基础知识】

一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：或

一元二次不等式与二次函数的图像

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

R

R

【注意】特别注意和时不等式的解集。二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化为二次项系数为正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。特别注意不等式的解集为空集或全集时的条件。

三、一元二次不等式的解法：

二次项系数化正

（2）解方程

（3）由（2）中表格得到解集

四、不等式的解集的表示

1．用区间来表示不等式的解集

设a，b都为实数，并且ab,我们规定:

（1）集合{x}叫做闭区间,表示为；

（2）集合{x}叫做开区间,表示为；

（3）集合{x}或{x}叫做半开半闭区间,分别表示为或。

（4）把实数集R表示为（-，+）；

把集合{x}表示为[a，+；

把集合{x}表示为(a,+)；

把集合{x}表示为（-，b]；

把集合{x}表示为（-，b）；

在上述所有的区间中，a，b叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。

2．区间在数轴上的表示

【考点剖析】

考点一：解一元二次不等式

例1写出下列不等式的解集：

（1）2x-3x-20（2）-3x+x+10

（2）9x+6x+10（4）4x-x5

（5）2x+x+10（6）4x-x≥4

[答案]（1）（2）

（3）（4）（5）（6）

考点二：解一元二次不等式组

方法规律

借助数轴求不等式组的解集：解由两个或两个以上的不等式组成的不等式组的解，可以将解集表示在同一条数轴上，这样更直观和清晰。

例2解不等式组：

【解析】解：由不等式①的解集为,不等式②的解集为，可知原不等式组的解集为，它在数轴上的表示如图：

x10/3

x

10/3

2

1/2

-1

考点三：含参数的一元二次不等式

例3解下列不等式：

（1）（2）

（3）

【解析】解：（1）∵∴

当即时，不等式解集：

当即时，不等式解集：

当即时，不等式解集：

（2）∵∴

当时，不等式解集：

当时，不等式解集：

当时，不等式解集：

（3）

当时，，不等式解集：

当时，，

若即时，不等式解集：

若即时，，不等式解集：

若即时，不等式解集：

当时，，∵，不等式解集：

综上：当时，解集：；

当时，解集：；

当时，解集：；

当时，解集：；

当时，解集：；

考点四：由解集确定不等式

例4．(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集为(-1,3).

(2)若不等式ax+bx+30的解为,求实数的值.

【解析】解:(1)(x+1)(x-3)0,即x-2x-30是一个解集为(-1,3)的一元二次不等式.

(2)解法一:可得方程ax+bx+3=0的两个根为-,3,且a0.所以运用根与系数的关系得：-=且=-, 即.

解法二:方程即的解为,

所以.

考点五：不等式的简单应用

例5.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应用税收外，还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶;若征收附加税,每销100元要征附加税r元(叫做税率r%),则每年的产销量将减少10r万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 应怎样确定?

【解析】解:设产销量为每年x(万瓶),则销售收入每年为70x(万元),从中征收附加税额为70xr%(万元),并且x=100-10r。

由题意知70(100-10r)r%112即r-10r+160解得2r8。

所以，税率定在2%至8%之间，年征收附加税额将不低于112万元。

例6.距离码头南偏东60的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久。

【解析】解：以码头为原点，正东、正北方向分别为轴、轴建立直角坐标系。则台风中心的坐标为A，小时后到达B处。

即，

整