高考文科数学二轮总复习专题能力训练8 利用导数解不等式及参数范围.docVIP

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专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围

能力突破训练

1.已知函数f(x)=ex-x-a,对于?x∈R,f(x)≥0恒成立.

(1)求实数a的取值范围;

(2)证明:当x∈0,π4

2.已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;

(2)证明:当a≥1e

3.(广西南宁东盟中学模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+a(a≠0).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当a0时,若关于x的不等式f(x)≤b+2a恒成立,证明:ba

4.已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.

(1)求实数a的值;

(2)若f(x)≤kx2对任意1(m,n∈N*)时,证明:nm

5.已知函数f(x)=lnxx+a(x-1),a∈

(1)若a=0,求f(x)的单调区间;

(2)若g(x)=xf(x),且对任意的x∈[1,+∞),g(x)≤0恒成立,求a的取值范围.

6.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=12x2

(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t0)上的最小值;

(2)若对ba0,总有m[g(b)-g(a)]f(b)-f(a)成立.求实数m的取值范围.

7.已知函数f(x)=lnx-(x

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)证明:当x1时,f(x)x-1;

(3)确定实数k的取值范围,使得存在x01,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).

8.(广西4月大联考)已知函数f(x)=a(x-1)-xlnx(a∈R).

(1)当0x≤1时,f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;

(2)设n∈N*,求证:ln12×1

思维提升训练

9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,b∈R)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数解析式,并写出定义域;

(2)证明:b23a;

(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72

10.设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;

(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14

答案：

能力突破训练

1.(1)解:由ex-x-a≥0恒成立,得a≤ex-x恒成立.

令g(x)=ex-x,则g(x)=ex-1,令g(x)=0,得x=0.

当x0时,g(x)0,g(x)单调递增;

当x0时,g(x)0,g(in=g(0)=1.所以a≤1.

故实数a的取值范围为(-∞,1].

(2)证明:由(1)得ex≥x+1恒成立,要证cosx+tanx≤ex,只需证cosx+tanx≤x+1即可.

令h(x)=cosx+tanx-x-1,x∈0,π4,则h(x)=-sinx+1co

令F(x)=sinx+sin2x-1,易知F(x)在区间0,π4

故存在x0∈0,π4

当x∈[0,x0)时,F(x)0,h(x)≤0,h(x)单调递减;

当x∈x0

又h(0)=0,hπ4

所以h(x)max=h(0)=0.

所以当x∈0,π

即当x∈0,π4

2.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=aex-1x

由题设知,f(2)=0,所以a=12

从而f(x)=12e2ex-lnx-1,f(x)=12e

当0x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.

所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.

(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥e

设g(x)=exe-lnx-1,则g(x)=

当0x1时,g(x)0;当x1时,g(x)0.

所以x=1是g(x)的最小值点.

故当x0时,g(x)≥g(1)=0.

因此,当a≥1e

3.(1)解:函数f(x)的定义域是(0,+∞),f(x)=1x-a=1

①当a0时,1-ax0,所以f(x)0,故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

②当a0时,由f(x)0,得0x1a

由f(x)0,得x1a

故函数f(x)在区间0,1a

(2)证明:由(1)知,当a0时,欲使f(ax=f1a≤b+2a,即ln1

所以ba≥1

令g(t)=tlnt-t-1,则g(t)=lnt,

由g(t)0,得t1,由g(t)0,得0t1,

所以g(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.

所以g(t)min=g(1)=-2,所以g(t)≥-2.

令t=1a,则1aln

故ba

4.(1)解:∵f(