2023-2024学年上海市高二上学期开学考数学试卷（测试范围：空间直线与平面、简单几何体,三角函数与解三角形,平面向量, 函数）（解析版）_1.docx

2023-2024学年上海市高二上学期开学考数学试卷

测试范围：空间直线与平面、简单几何体,三角函数与解三角形,平面向量,函数

一、填空题

1．已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为______

【答案】

【分析】根据投影向量公式进行求解.

【详解】向量在向量的方向上的投影向量为.

故答案为：

2．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的体积为______．

【答案】

【分析】先求得圆柱的高，进而求得圆柱的体积.

【详解】设圆柱的高为，依题意，

解得，

所以圆柱的体积为.

故答案为：

3．已知，则________.

【答案】

【分析】根据诱导公式化简求值.

【详解】由诱导公式可知.

故答案为:

4．已知中，，，其中是垂直的单位向量，则的面积为________.

【答案】

【分析】求出的模，再计算它们的夹角的正弦，然后可得面积．

【详解】由题意，

，同理，

，

，则．

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查向量的数量积，考查三角形面积．属于中档题．由向量的数量积求出三角形两边长及他们夹角的余弦值，得正弦值，从而求出三角形面积．

5．已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为______．

【答案】

【分析】取正四面体的棱为6,找中点为,连接,根据中位线可知,则异面直线CE与BD所成角,即直线CE与所成角,即,求出各个长度,由余弦定理即可求得结果.

【详解】解:由题知,取中点为，连接如图所示:

不妨设正四面体棱为6,

根据分别为中点得：，

因为与为等边三角形,

所以，故，同理，

在中,由余弦定理可得:

，

故,

因为,

所以异面直线CE与BD所成角，即直线CE与所成角，即,

故异面直线CE与BD所成角为.

故答案为:

6．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.

【答案】70

【分析】由平方即可求解.

【详解】由题意，，

，

，

米，米，米，库底与水坝所成的二面角为，

，

米.

故答案为：70.

7．已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_________．

【答案】

【详解】根据三视图可知，该几何体是由圆柱和正方体组合而成，上部分是圆柱，底面半径为1，高为4，下部分是正方体，边长为4，则该几何体的表面积等于圆柱和正方体的表面积之和减去两者重合部分，即两倍的圆柱的下底面面积

8．给出下列结论：

①一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；

②过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；

③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；

④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．

其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④

【分析】根据线面垂直的概念，线面平行的概念及面面平行的概念即得

【详解】①由直线与平面垂直的定义可知①正确；

②过平面外一点有无数个平面和这个平面垂直，故②错误；

③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故③错误；

④由面面平行的概念及线面平行的概念可知④正确．

综上，正确的是①④．

故答案为：①④．

9．已知平面向量、满足，则的取值范围是______

【答案】

【分析】利用待定系数法，可得，再利用数量积运算可得到关于的关系式，进而可求得的取值范围.

【详解】不妨设与的夹角为，且，

得，故，解得，

所以，

为计算方便，不妨令，，则，，

所以，

因为，所以，即，

故，即.

故答案为：.

10．在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于______

【答案】

【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得的长.

【详解】根据题意，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得，，，，，

则所在的直线方程为，即；

所在的直线方程为，即；

联立所在的直线方程与所在的直线方程得，解得，

由中点坐标公式得，即.

由两点之间得距离公式得，

故答案为：.

11．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，则点到平面的距离为______．

【答案】

【分析】求出三棱锥的体积，设点到平面的距离为，利用等体积法，即可得出结果.

【详解】∵底面，，，

∴，

∵，∴，，

又∵，∴，且,

设点到平面的距离为，

∴，解得，

即点到平面的距离为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了利用等体积法求点到面的距离，求出三棱锥的体积是解题的关键，属于中档题.

12．在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的