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应用高等数学
课导航全第1章函数第3章积分第2章导数与微分第4章线性代数初步第5章简单线性规划及其应用
第4章线性代数初步
本章寄语线性代数是数学的一个重要分支,其思想和方法在自然科学、工程技术和国民经济等许多领域中都有着广泛的应用.本章将从实际问题出发,介绍线性代数的一些相关知识.
4.1矩阵的概念及运算节导航章线性代数初步4.2矩阵的初等变换
4.1矩阵的概念及运算
矩阵的概念和运算矩阵一词是英国数学家西尔维斯特于1850年首先使用的,1855年英国人凯莱引入了矩阵的基本概念和运算.从此,矩阵不仅广泛应用于各个领域(如工程技术、经济学、网络设计、电路分析等),而且成为求解线性方程组的重要工具.
某专业52名学生的经济数学成绩如表所示.4.1.1矩阵的概念1.定义引例1单位:分
某地区甲、乙、丙3家商场同时销售Ⅰ类、Ⅱ类品牌的家用电器,其销售额表和单价、利润表,分别如表1和表2所示.4.1.1矩阵的概念1.定义单位:万表1表2引例2
4.1.1矩阵的概念1.定义这些表格虽然内容不同,但它们的数据都是由若干行与列组成的,故可将它们简记为下面的矩形数表:,,.数学上把这种矩形数表称为矩阵.
4.1.1矩阵的概念1.定义定义1由个数(;)构成的一个行列的数表称为阶矩阵.其中,称为矩阵第行、第列的元素,称为元素的行标,称为元素的列标.通常用大写英文字母或表示矩阵.
4.1.1矩阵的概念1.定义战国时期,有一天齐王让田忌和他赛马,规定每次每人从自己的上、中、下三等马中各选一匹马来比赛,并约定每一次获胜可得一千两黄金,每一次失败要拿出一千两黄金.当时,齐王每一等次的马都比田忌同样等次的马要强.问:田忌如何应对,才能获胜?解用1表示田忌赢得一千两黄金,用-1表示田忌输掉一千两黄金,于是齐王与田忌赛马的可能结果如表所示.例1(田忌赛马)田忌齐王上等马中等马下等马上等马-111中等马-1-11下等马-1-1-1
4.1.1矩阵的概念1.定义战国时期,有一天齐王让田忌和他赛马,规定每次每人从自己的上、中、下三等马中各选一匹马来比赛,并约定每一次获胜可得一千两黄金,每一次失败要拿出一千两黄金.当时,齐王每一等次的马都比田忌同样等次的马要强.问:田忌如何应对,才能获胜?解例1(田忌赛马)表中的数据可以写成矩阵.田忌要获胜,至少要三场中得两个“1”.由上述矩阵可以看出,田忌只能采取以下办法:用自己的上等马对齐王的中等马(),用自己的中等马对齐王的下等马(),用自己的下等马对齐王的上等马().这样,虽然田忌的马总体上不如齐王的马强,但他仍能赢得一千两黄金.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵1)方阵当矩阵A的行数和列数相等,即时,称矩阵A为n阶方阵,记为或A.方阵A的左上角到右下角称为主对角线,其元素称为主对角元素.例如,就是一个二阶方阵,其中主对角元素为1,4.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵2)行(列)矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵3)上(下)三角矩阵主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵.主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵4)对角矩阵除主对角元素外,其余元素全为零的方阵称为对角矩阵.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵5)单位矩阵主对角线上的元素都为1,其余元素都为0的方阵称为单位矩阵,记为E.
4.1.1矩阵的概念2.几个特殊的矩阵6)同型矩阵如果两个矩阵的行数、列数都相等,则称它们为同型矩阵.
4.1.1
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