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高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项

式函数一般不超过三次)．

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项

式函数一般不超过三次)．

【重点知识梳理】

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y

＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取

得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]

上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【高频考点突破】

考点一利用导数研究函数的单调性

例1已知函数f(x)＝ex－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

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【拓展提高】

(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；

(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；

(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒

为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

【变式探究】

1

(1)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a1，则f(x)的单调减区间为

3

_____________________．

(2)已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．

【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]

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考点二利用导数求函数的极值

例2(·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为

－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x0时，x2ex.

【拓展提升】

(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点

是不是原函数的极值点．

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函

数没有极值．

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷104