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2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案

一、相似

1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作

Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：

（1）∠OAE=∠OBE；

（2）AE=BE+OE．

【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB=90°，

∵∠AEB=90°，

∴A，B，E，O四点共圆，

∴∠OAE=∠OBE

（2）证明：在AE上截取EF=BE，

则△EFB是等腰直角三角形，

∴，∠FBE=45°，

∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴∠ABO=45°，

∴∠ABF=∠OBE，

∵，

∴，

∴△ABF∽△BOE，

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∴=，

∴AF=OE，

∵AE=AF+EF，

∴AE=BE+OE．

【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出

A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。

（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，

再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比

例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证

得AF=OE，由AE=AF+EF，可证得结论。

2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与

A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，

∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN

②是定值

理由：如图，过点M作ME⊥BC于点E，

∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

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∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP，∴△AMP∽△EMN，

∴，∴，∵