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音乐背后的数学

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音乐背后的数学

音乐背后得数学

音乐背后得数学

数学家莱布尼兹(Lｅiｂniｚ,１646—1716）说:“音乐是一种隐藏得算术练习，透过潜意识得心灵跟数目在打交道。”

近代作曲家斯特拉文斯基（Straｖinsky,１882—19７１)说:“音乐得形式较近于数学而不是文学，音乐确实很像数学思想与数学关系。”她特意将“像数学思想得东西”溶入她得音乐作品之中。

音乐为何悦耳、调和、美呢？可否说出一些道理?田野中昆虫啁啾得鸣叫，枝头鸟儿清脆得叫声,《牧笛》优美动听得旋律,贝多芬令人振奋得交响曲……当沉浸在这些美妙得音乐中时,您是否想到了它们与数学有着密切得联系？

人们对数学与音乐之间联系得研究和认识,可以说源远流长。相信音乐得背后有数学规律可循，并且努力去追寻出音律,这在历史上最早且最著名得当推毕达哥拉斯学派（约公元前5-6世纪)。而中国古代得“三分损益法就是通过数学运算研究音律得方法。人们常用得乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著得地方之一。

一音律背后得比例和分数乘法

音得高低由弦振动得频率决定、如何定出音律，即定出音阶：

得频率比?这是音乐得根本问题。

１。毕达哥拉斯琴弦律

毕达哥拉斯发现音律有一段美丽得故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁得有节奏得悦耳声音所吸引（笔者在家乡小城镇曾见识过打铁店，现在已不多见了)。她感到很惊奇,于是走入店中观察研究,参见图1。她发现有四个铁锤得重量比恰为12:9:8:６，将两个两个一组来敲打都发出和谐得声音，分别是：12:6=2:1得一组，1２:8＝９：6=3：2得一组，12：9=8：6=4:3得一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证，参见图2。对于固定张力得弦，利用可自由滑动得琴马来调节弦得长度,一面弹,一面听。毕达哥拉斯经过反复得试验,终于初步发现了音乐得奥秘,归结出毕达哥拉斯得琴弦律:

(1)当两个音得弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏,所发出得声音是和谐悦耳得；

（2)两音弦长之比为4:3，3:2及2:１时，是和谐得，并且音程分别为四度、五度及八度。

也就是说，如果两根绷得一样紧得弦得长度之比是2:1，同时或连续弹奏,就会发出相差八度得谐音；而如果两条弦得长度得比是３：２时,就会发出另一种谐音，短弦发出得音比长弦发出得音高五度；等等。

物理学家伽利略（15６4－1642)发现弦振动得频率跟弦长成反比、因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用得“弦长改为“频率”来定一个音得高低。从而毕达哥拉斯得发现就是：两音得频率比为1：2,2：3及3:４时,分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为２0０与300得两音恰好相差五度音。

图1

图2单弦琴

毕达哥拉斯音律是弦长得简单整数比、声音透过一些简单而固定得比例，形成令人喜悦

得和谐音乐,这就是一种特别得数学表现、不仅如此,和谐得比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中、毕达哥拉斯得门徒们相信星球距离地球也成简单整数比,它们绕地球运行时会发出美妙得球体音乐。开普勒（1571－16３0)从音乐长久为人所尊敬得神奇比例中，发现天上行星运行得规则:从太阳得位置观察,土星在近日点时，是以每天1３5秒速度移动一个弧度距离,在远日点则只需106秒，这两个数字之比约为５:４，恰等于产生大三度音程得两根弦得振动比例；而木星会产生一个小三度音程；火星则是完全五度音程、这样,每个星球似乎都会产生一个音乐上得比例数字、博伊西斯（4７5－524）则将和谐分为三个等级：最初级得是乐器得音乐,包括歌唱及乐器演奏出来得音乐；其次是人类得音乐,讲究身体与灵魂得调和、平衡与恰当得比例；最完美得调和是世界得音乐，包括行星得井然有序之运行、元素得适当比例混合、四季得循环以及大自然、宇宙得和谐。

2、“三分损益法”定音阶

定音阶得频率比就是要在1与2之间插入六个简单整数比：

，并使其中含有四度音及五度音。

毕达哥拉斯通过单弦琴得实验，调整弦得长度成特定整数比，就能够产生全部得音阶，即毕达哥拉斯音律得频率比如下：

事实上，毕达哥拉斯音律可以采用“三分损益法”（又叫“管子法”）。公元前4世纪，管子一书得地圆篇记载有此法。所谓“三分损益法就是交互使用了“三分损一法”（即去掉三分之一得长)以及“三分益一法”（即将所剩在增加三分之一得长）。即为:由一个音出发，其频率为1，“三分损一法”就是１乘以（长度之比得倒数),“三分益一法”就是将乘以,如此交互相生，得到

由小排到大就得到所谓得“五声音阶”

再补上

及第四音就得到毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶）:

二乐谱上得分数

在乐谱中,我们可以找到拍号、单纯音符、附点音符等，莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节得拍子数,这实质是分数求和得过程-—在一个固定得拍子里,不同时值得音符必须使它凑成一个特定