湘教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第2章 空间向量与立体几何 2.3.1 空间向量的分解与坐标表示.docVIP

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2.3.1空间向量的分解与坐标表示

A级必备知识基础练

1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若BD1=xAB+yAD+z

A.(1,1,1) B.(1,1,-1)

C.(1,-1,1) D.(-1,1,1)

2.下列说法正确的是()

A.已知a,b,c是空间三个向量,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc

B.若AB,CD所在的直线是异面直线,则

C.若三个向量a,b,c两两共面,则a,b,c共面

D.已知A,B,C三点不共线,若OD=

3.设{i,j,k}是标准正交基,已知向量p在基{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基{i,j,k}下的坐标是()

A.(12,14,10) B.(10,12,14)

C.(14,12,10) D.(4,3,2)

4.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若BD=6PA-4PB+λPC,则λ=()

A.2 B.-2 C.1 D.-1

5.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,且AB=a,AD=b,AA

A.a-b-c=BD

B.a+b+c=A

C.a+b-c=A1

D.a-b+c=B

6.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则MN的坐标为.?

7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD可用a,b,c表示为.?

8.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上,且BE=13BB1,DF=23DD

(1)证明:A,E,C1,F四点共面;

(2)若EF=xAB+yAD+zAA

B级关键能力提升练

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM=2MC,PN=ND,若NM=xAB+y

A.-23 B.23 C.1

10.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量共面的是()

A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b

C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c

11.(多选题)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{MA,

A.OM

B.MA=MB

C.OM=OA+2OB

D.MA=3MB-2MC

12.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,则OM的坐标为.?

13.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+z

14.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,且OP=2e1-e2+3e3,OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3.

(1)判断P,A,B,C四点是否共面.

(2)能否以{OA,OB,

C级学科素养创新练

15.在如图所示的平行六面体ABCD-ABCD中,已知AB=AA=AD,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°,BM=14BC,N为CD上一点,且D

A.12 B.13 C.1

16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.

2.3.1空间向量的分解与坐标表示

1.D连接B1D1,BD1=BB1+B1D1,又BB1

2.D若a,b,c三个向量共面,则不能表示任意一个向量p,所以A错误;因为向量是自由向量,可以自由平移,所以当AB,CD所在的直线是异面直线时,AB,CD也共面,所以B错误;当三个向量a,b,c两两共面时,如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面,但这3个向量不共面,所以C错误;因为A,B,C三点不共线,

3.A依题意,知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).

4.BBD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λPC,整理得PD=6PA-3PB+λ

由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B.

5.BC由BD

由AC

A1

B1D=

6.(-12,0,12)∵PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴M(0,12,0),P(0,0,1),C(-1,1,0),则N(-12,12,1