第1章 集合全章复习与测试（解析版）_1.docx

第1章集合全章复习与测试

【知识梳理】

知识点一集合的概念

集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.

知识点二集合表示的含义

所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；

所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；

所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

所有实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点三集合与元素的关系

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a?A．

2、集合中元素的三大特征：

（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．

（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．

（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．

知识点四集合的表示

1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．

2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等,例如(北京,天津,上海,重庆)=(上海,北京,天津,重庆》

知识点五集合的分类

一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.

知识点六：子集

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．

记作：A?B（或B?A）．

知识点七：真子集

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B?B?A，实际上包含3种情况：

①B＝?；

②B?A且B≠?；

③B＝A；往往遗漏B是?的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．

真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；

另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A?B，并且B?A时，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

集合的包含关系判断及应用

【解题方法点拨】

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

知识点