第02讲 集合间的基本关系（5种题型）（解析版）_1.docx

第02讲集合间的基本关系（5种题型）

【知识梳理】

一．集合的相等

（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．

（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A?B，同时B?A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．

（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：

①两个集合的元素个数相等；

②两个集合的元素之和相等；

③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．

【解题方法点拨】

集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．

【命题方向】

通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．

二．集合的包含关系判断及应用

概念：

1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；

2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．

三．子集与真子集

1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．

记作：A?B（或B?A）．

2、真子集是对于子集来说的．

真子集定义：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；

另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A?B，并且B?A时，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】

本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．

四．空集的定义、性质及运算

1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作?．空集的性质：空集是一切集合的子集．

2、注意：

空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．

将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；

袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．

例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝?．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

【解题方法点拨】

解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B?B?A，实际上包含3种情况：

①B＝?；

②B?A且B≠?；

③B＝A；往往遗漏B是?的情