第02讲 子集、全集、补集（原卷版）_1.docx

第02讲子集、全集、补集

【题型目录】

题型一:集合间关系的判断

题型二：子集与真子集

题型三：补集的求法

题型四：全集及其应用

题型五：集合关系中的参数取值问题

【知识梳理】

知识点一：子集

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．

记作：A?B（或B?A）．

知识点二：真子集

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，

若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．

所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B?B?A，实际上包含3种情况：

①B＝?；

②B?A且B≠?；

③B＝A；往往遗漏B是?的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．

真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；

另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A?B，并且B?A时，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

集合的包含关系判断及应用

【解题方法点拨】

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

知识点三:补集

文字表示

设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为?SA，读作A在S中的补集

符号表示

?SA＝{x|x∈S，且x?A}

图形表示

知识点四：全集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．

【考点剖析】

题型一:集合间关系的判断

[典例1]指出下列集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；

(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；

(5)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}．

题型二：子集与真子集

[典例2](1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；

(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？

[练习1]（2022秋?京口区校级月考）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

[练习2]（2022秋?响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（）

A．8 B．7 C．4 D．3

[练习3]（2022秋?靖江市校级月考）集合A＝{x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则的真子集的个数为（）

A．7 B．8 C．15 D．16

[练习4]（2022秋?高邮市月考）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（）

A．8 B．7 C．6 D．5

题型三：补集的求法

[典例3]在下列各组集合中，U为全集，A为U的子集，求?UA.

(1)已知全集U＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}；

(2)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}；

[练习1]（（2022秋?南通期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，则?UA＝（）

A．（﹣1，1