第08讲 基本不等式（解析版）_1.docx

第08讲基本不等式

【题型目录】

题型一：基本（均值）不等式的应用

题型二：根据基本不等式比较大小

题型三：根据基本不等式证明不等关系

题型四：基本不等式求积的最大值

题型五：基本不等式求和的最小值

题型六：条件等式求最值

题型七：基本不等式的恒成立问题

题型八：容积的最值问题

【知识梳理】

1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大).

【考点剖析】

题型一：基本（均值）不等式的应用

【典例1】已知为实数，且，则下列命题错误的是（???????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断

【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D正确，

故选：C

【练习1】（多选）已知，则（???????）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式可求A,B,D,根据判别式判断方程有根可判断C.

【详解】由，即，当且仅当时等号.故A错，，

进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，

令，则，所以，故可化为，整理得，

由，得，即，解得或（舍去），C正确，

，，当且仅当时等号成立，D错误

故选：BC．

【练习2】若正数满足，则的最大值为______．

【答案】

【分析】根据，可得，将其代入所求式子中，转化为基本不等式的形式，即可求最值.

【详解】正数满足，，解得，

，

当且仅当时，即等号成立，的最大值为．

故答案为：

题型二：根据基本不等式比较大小

【典例2】已知，则与的大小关系是____________

【答案】.

【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小.

【详解】∵，∴，，

∴，当且仅当，即时取等号，

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键.

【练习】甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．

【答案】甲先到达B地．

【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．

然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.

【详解】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．

方法一???因为，即，所以甲先到达B地．

方法二???，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地．

【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.

题型三：根据基本不等式证明不等关系

【典例3】已知，求证：.

【分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，

当且仅当即，等号成立，

所以，证毕.

【练习1】证明不等式：

(1)若，，，都是正数，求证：；

(2)若，，是非负实数，则；

(3)若，是非负实数，则；

(4)若，，则．

【分析】（1）利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

（2）利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

（3）利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

（4）利用作差法可证得结论；

(1)由，，，都是正数，利用基本不等式可知，

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

所以

即有，当且仅当时，等号成立.

(2)由，，，都是正数，利用基本不等式可知，

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

所以

当且仅当时，等号成立.

(3)

当且仅当时，等号成立.

(4)

当且仅当时，等号成立.

【练习2】下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试