第四讲 直线与平面垂直-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）（原卷版）_1.doc

第四讲直线与平面垂直

【学习目标】

1．了解直线与平面垂直的定义。

2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。

3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。

4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。

【基础知识】

一、直线与直线所成的角

一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m．

二、直线与平面垂直及其判定定理

1．直线与平面垂直的定义

文字语言

图形语言

符号语言

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足

l⊥α??mα，l⊥m．

2．直线与平面垂直的判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m，,l⊥n，,m?α，,n?α，,m∩n=P))?l⊥α

3．判定定理的理解

(1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面．

(2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要．

4．线面垂直的判定方法：

①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直?线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α．

三、直线与平面垂直的性质

1．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行

符号语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,m⊥α))?l∥m

图形语言

文字语言

如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面

符号语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,l⊥α))?m⊥α

2．对性质定理的理解

(1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法．

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

四、直线与平面垂直的应用

1．直线与平面所成的角

(1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA．

(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A．

(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO．

(4)直线与平面所成的角：

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．

②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(5)取值范围：0°≤θ≤90°．

3．常用规律：设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影．

(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．

(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．

(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．

4．点、直线到平面的距离：

(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

(2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．

【考点剖析】

考点一：异面直线所成角

例1如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点。

求EF和AB所成的角．

考点二：线面垂直的定义及判定定理的理解

例2下列说法中正确的个数是()

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0B．1C．2D．3

考点三：直线与平面垂直的判定

例3在三棱锥A-BCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E．

求证：CD⊥平面ABE．

考点四：直线与平面垂直性质定理的应用

例4如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．

求证：EF∥BD1．

【真