高考理科数学二轮总复习课后习题 题型专项集训10 大题综合练(二).docVIP

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题型练10大题综合练(二)

1.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,且8Sn=(2an+1)2,a1=1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若Tn=an·31+an-1·32+an-2·33+…+a2·3n-1+a1·3n,求Tn.

2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.

(1)证明BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

3.某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况,从高一、高二年级学生中分别随机抽取100名学生,由调查结果得到如下的频率分布直方图:

高一

高二

(1)写出频率分布直方图(高一)中a的值;记高一、高二各100名学生锻炼时间的样本的方差分别为s12,

(2)估计在高一、高二学生中各随机抽取1名学生,恰有1名学生的锻炼时间大于20分钟的概率.

(3)由频率分布直方图可以认为,高二学生锻炼时间Z服从正态分布N(μ,σ2).其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差,且每名学生锻炼时间相互独立,设X表示从高二学生中随机抽取10名学生,其锻炼时间位于区间(14.55,38.45]内的人数,求X的数学期望.

注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得s2=142.

②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σZ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σZ≤μ+2σ)≈0.9545.

4.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的所有弦中,最短弦长为4.

(1)求抛物线C的方程;

(2)在抛物线C上有异于顶点的两点A,B,过A,B分别作抛物线C的切线,记两条切线交于点Q,连接QF,AF,BF,求证:|QF|2=|AF|·|BF|.

5.设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.

(1)求b;

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

题型练10大题综合练(二)

1.解(1)由8Sn=(2an+1)2,得8Sn+1=(2an+1+1)2,将以上两式相减,可得8an+1=(2an+1+1)2-(2an+1)2,

则(2an+1-1)2-(2an+1)2=0,

所以(2an+1+2an)(2an+1-2an-2)=0.

由于数列的各项均为正数,所以an+1-an=1,又a1=1,所以an=n.

(2)由题意可得Tn=n·31+(n-1)·32+(n-2)·33+…+2·3n-1+1·3n①,

则3Tn=n·32+(n-1)·33+(n-2)·34+…+2·3n+1·3n+1②,

由②-①可得2Tn=-3n+32+33+34+…+3n+3n+1=-3n+32(1

则Tn=3

2.(1)证明由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.

又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.

(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,

故AE=AB,AA1=2AB.

以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC

设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则

CB

所以可取n=(0,-1,-1).

设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则

C

所以可取m=(1,1,0).

于是cosn,m=n·m

所以,二面角B-EC-C1的正弦值为3

3.解(1)a=0.015,s

(2)设事件A:在高一学生中随机抽取1名学生,其锻炼时间不大于20分钟,

事件B:在高二学生中随机抽取1名学生,其锻炼时间不大于20分钟,

事件C:在高一、高二学生中各随机抽取1名学生,恰有一名学生的锻炼时间大于20分钟,且另一名学生的锻炼时间不大于20分钟,则P(A)=0.20+0.10=0.30,P(B)=0.10+0.20=0.30,

∴P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.

(3)x=26.5,由条件得Z~N(26.5,142.75),从而P(26.5-11.95Z≤26.5+11.95)≈0.6827,故从高二学生中随机抽取10名学生,其锻炼时间位于区间(14.55,38.45]内的概率是0.6827,根据题意得X~B(10,0.6827),∴E(X)=10×0.6827=6.827.

4.(1)解当过点F的直线斜率不存在时,此时弦长为2p;

当过点F的直线斜率存在时,设直线方程为y=kx-p2(k