高二上学期期末考试填空题压轴题50题专练（解析版）_1.docx

高二上学期期末考试填空题压轴题50题专练

【人教A版（2019）】

1．（2023上·广西河池·高二统考期末）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，AB⊥AC，AB=AC=A

【解题思路】首先由PB=4可得P是在以B为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面BCC1B1的交线，故PC1取值最小时，B，P，

【解答过程】由PB=4可得P是在以B为球心半径为4

由于B1C1

PC1取值最小时，其在平面

其在平面BCC1

故PC1取值最小时，B，P，

通过点P往B1C1作垂线，垂足为M

则C1B=

代入C1PC1B

因此B

=B

故答案为：323

2．（2023上·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1

【解题思路】建系，求利用空间向量设点M,N

【解答过程】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A1,0,0

可得AD

设AM=λA

可得x0-1=-

故M1-

同理可得：N1-

则MN=

当且仅当μ=

对λ22+

故MN≥33，当且仅当λ

即直线AD1与A1

故答案为：33

3．（2023上·江西吉安·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，N是侧面B1BCC1

【解题思路】以点B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点N0,b,c，根据A1N//平面AD1M求出点N的轨迹方程，根据A1N与平面B

【解答过程】以点B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z

则A2,0,0、D12,2,2、M0,2,1、

设平面AD1M的法向量为m=x

则m?AD1=2

设点N0,b,

因为A1N//平面AD1M，则

易知平面BB1C1C

cos

故当b=12时，cos

设三棱锥B-DMN的球心为

则x2+y2+

因此，三棱锥B-DMN的外接球半径为

故答案为：32

4．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在直角△ABC中，AB=1，BC=2，D为斜边AC上异于A、C的动点，若将△ABD沿折痕BD翻折，使点A折至A1处，且二面角A1-BD-

【解题思路】过点A1在平面A1BD内作A1M⊥直线BD，垂足为点M，过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD，垂足为点N，记∠A

【解答过程】过点A1在平面A1BD内作A1M

过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD，垂足为点N

∵A1C

记∠A1BD=α，则α∈0,

因为二面角A1-BD-C的大小为π3，则

∵NC

且MN=

所以，A

=sin

即A1C≥2，当且仅当

因此，线段A1C长度的最小值为

故答案为：2.

5．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P

给出下列四个结论：

①点T可以是棱DD

②线段PT长度的最小值为12

③点T的轨迹是矩形；

④点T的轨迹围成的多边形的面积为52

其中所有正确结论的序号是②③④．

【解题思路】以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，令正方体ABCD-A1B1C1D1棱长a=2可简化计算，得到对应点和向量的坐标，通过空间向量数量积的运算即可判断对应的垂直关系，通过计算和几何关系得点T的轨迹为四边形EFGH

【解答过程】由题知，以C点为坐标原点，以CD,CB,CC1

则C0,0,0，D2,0,0，B0,2,0，A2,2,0，

B10,2,2，A12,2,2，P1,1,1

对于①，当点T为棱DD1的中点时，

则PT=1,-1,0

不满足PT⊥BQ，所以点T不是棱DD1

PT=x

所以x-

当x=0时，z=32

取E2,0,12，F2,2,1

连结EF，FG，GH，HE，

则EF=HG=0,2,0，EH

所以四边形EFGH为矩形，

因为EF?BQ=0

所以EF⊥BQ，

又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，

所以BQ⊥平面EFGH

又EP=-1,1,

所以P为EG的中点，则P∈平面EFGH

为使PT⊥BQ，必有点T∈

又点T在正方体表面上运动，所以点T的轨迹为四边形EFGH，

又EF=GH=2

所以EF≠EH，则点T的轨迹为矩形EFGH，故

面积为2×5=25，即5

又因为BQ=1,0,2，PT=

则x-1+2z

所以x=3-2z，点T

则0≤3-2z≤2，解得

所以PT=

结合点T的轨迹为矩形EFGH，

分类讨论下列两种可能取得最小值的情况

当z=1，y=0或y=2时，

当y=1，z=12或

因为152，所以当z=1，y=0或y=2时，PT取得最小值为1，即

综上所述：正确结论的序号是②③④

故答案为：②③④.

6．（2023上·北京丰台·高二统考期末）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P

①当