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大理市重点中学2023届高三5月月考(二统模拟)数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,若,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
2.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()
A.0 B.2 C.4 D.1
3.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()
A. B.
C. D.
4.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()
A. B. C. D.
5.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:
(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;
(2)存在某个位置,使得;
(3)设二面角的平面角为,则;
(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.
其中,正确说法的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()
A. B. C. D.
7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
8.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()
A. B. C.3 D.4
9.已知函数,则函数的零点所在区间为()
A. B. C. D.
10.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为()
A. B.
C. D.
11.已知,则,不可能满足的关系是()
A. B. C. D.
12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在直角三角形中,为直角,,点在线段上,且,若,则的正切值为_____.
14.若函数的图像上存在点,满足约束条件,则实数的最大值为__________.
15.已知,,且,则的最小值是______.
16.已知数列的前项和为,且成等差数列,,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,直线l过点,且倾斜角为,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程,并判断曲线C是什么曲线;
设直线l与曲线C相交与M,N两点,当,求的值.
18.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.
19.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)设函数的导函数为,求证:函数有且仅有一个零点.
20.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.
21.(12分)已知函数,设为的导数,.
(1)求,;
(2)猜想的表达式,并证明你的结论.
22.(10分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.
(1)证明:平面;
(2)设是线段上的动点,当点到平面距离最大时,求三棱锥的体积.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.
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