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专题38二次函数中的宽高模型

【模型展示】

特点

面积处理之“宽高模型”

如图，试探究△ABC面积.

如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD

图1

图2

如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则

S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG

说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”

结论

S△ABC=×水平宽×铅垂高

【模型证明】

解决方案

1、如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD

图3

图4

如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，则

S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC

说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.

2、如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD

图5

图6

如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，则

S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG

说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.

3、如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，

则S△ABC=S△ACD-S△ABD

图7

图8

如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，则

S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB

说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.

[反思总结]无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.

【题型演练】

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．

例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．

（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；

②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；

②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan∠AED=，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于（直接写出答案）

4．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（????）．

A． B． C． D．

5、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

6、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的