一箭穿心与瓜豆原理（最值专题）（解析版）-初中数学.pdf

一箭穿心与瓜豆原理(最值专题)

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一、一箭穿心与最值

1如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是⊙A上一动点，P是BC

上一动点，则PE+PD最小值是()

A.2B.3C.4D.23

【答案】C

【详解】解：如图，作点D关于直线BC的对称点F，连接AF，交BC于点P，交⊙A于点E，此时PE+PD

最小，最小值等于AF-AE，

由轴对称的性质得：CF=CD，

∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=3，

∴AB=CD=2，AD=BC=3，∠ADF=90°，

∴DF=CD+CF=2CD=4，

2222

∴AF=AD+DF=3+4=5，

∵AE=1，

∴EF=AF-AE=4，

即PE+PD的最小值为4，

故选：C．

2如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P

不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△ABP，连接CB，则在点P的运动过程中，线段CB的最

小值为．

1

【答案】11-2/-2+11

【详解】解：在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，

22

∴BC=AD=7，AC=BC+AB=7+4=11，

如图所示，当点P在BC上时，

∵AB=AB=2，

．∴B在A为圆心，2为半径的弧上运动，

当A，B，C三点共线时，CB最短，

此时CB=AC-AB=11-2，

当点P在DC上时，如图所示，

此时CB11-2，

当P在AD上时，如图所示，此时CB11-2，

综上所述，CB的最小值为11-2，

故答案为：11-2．

2

3如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(5，12)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB

与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．

【答案】18

【详解】解：如图所示，连接OP，

∵PA⊥PB，

∴∠APB=90°，

∵AO=BO，

∴AB=2PO，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=5，MQ=12，

在Rt△MQB中，根据勾股定理，得

2222

OM=OQ+MQ=5+12=13，

又∵MP′=4，

∴OP′=9，

∴AB=2OP′=18，

故答案为：18．

4如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=8，AC=42．

(1)当AB=AC时，∠CAD=°；

(2)当△ACD面积最大时，则AD=．

【答案】4543

【详解】解：(1)当AB=AC时，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，BD=CD=4，