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2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共有10个小题,每个小题得四个选项中有且只有一个正确答案,请将选出填涂在答题卡上相应位置.每小题4分,合计40分)
1.已知向量a→=(3,-2,1),
A.2 B.12 C.﹣2 D.
2.设x∈R,向量a→=(1,-1,
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
3.圆x2+y2﹣6x+8y=0的圆心坐标和半径分别是()
A.(3,4),25 B.(﹣3,4),5
C.(﹣3,﹣4),25 D.(3,﹣4),5
4.如图,在三棱锥O﹣ABC中,点D是棱AC的中点,若OA→=a→,OB→
A.-a→+b→-c→ B.a
5.经过两点A(4,2y+1),B(2,﹣3)的直线的倾斜角为3π4,则y
A.﹣1 B.﹣3 C.0 D.2
6.过两直线x+y﹣3=0,2x﹣y=0的交点,且与直线y=1
A.x+3y+5=0 B.x+3y﹣5=0 C.x﹣3y+5=0 D.x﹣3y﹣5=0
7.已知圆C:x2+y2﹣4x=0与直线l切于点P(1,3
A.x-3y+2=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y﹣4=0 D.x+3y
8.“a=﹣1”是“直线l1:(a+2)x+(1﹣a)y﹣1=0与l2:(a﹣1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
9.如图,ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F
A.1517 B.12 C.817
10.如图,菱形ABCD边长为2,∠BAD=60°,E为边AB的中点,将△ADE沿DE折起,使A到A,且平面ADE⊥平面BCDE,连接AB,AC,则下列结论中正确的个数是()
①BD⊥AC
②点B到平面A′CD的距离为3
③异面直线BC与AD所成角的余弦值为3
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题(本大题共有5个小题,请将每一个小题得正确答案填写在答题纸上相应得位置,每小题4分,合计20分)
11.已知点A(0,﹣4)、B(3,0),则直线AB的一个方向向量为,线段AB的长度为.
12.如图,以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1→的坐标为(4,3,2),则AC1
13.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量AB→、AD→、AA1→两两的夹角均为60°,且|AB→|=1,|AD→|=2,|AA1→|=3,则
14.已知在△ABC中,顶点A(4,2),点B在直线l:x﹣y+2=0上,点C在x轴上,则△ABC的周长的最小值.
15.如图,棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,点P在正方体的表面及其内部运动,且D1P⊥CM,那么:
(1)所有满足条件的点P构成的图形的面积为;
(2)MP的最小值为.
三、解答题(本大题共有四个小题,每个小题要求写出必要的文字说明和推证过程.合计40分)
16.(10分)在平面直角坐标系中,已知A(﹣3,9),B(2,2),C(5,3),线段AC的中点M;
(1)求过M点和直线BC平行的直线方程;
(2)求BC边的高线所在直线方程.
17.(10分)已知直线l经过两点P(1,0),Q(0,﹣1),圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C交于A,B两点,求|AB|的值.
18.(10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥
(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(2)求点B到平面PCD的距离.
19.(10分)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.
(1)证明:BF⊥DE;
(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10个小题,每个小题得四个选项中有且只有一个正确答案,请将选出填涂在答题卡上相应位置.每小题4分,合计40分)
1.已知向量a→=(3,-2,1),
A.2 B.12 C.﹣2 D.
解:由于a→//b→,所以63
故选:A.
2.设x∈R,向量a→=(1,-1,
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
解:因为向量a→=(1,
则有a→?b→=1×(-4)+(-1)×2+2x=0
故
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