3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

选择必修第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程

教学目标学习目标数学素养1.理解并掌握椭圆的定义．1.数学抽象素养.2.掌握椭圆的标准方程的推导．2.数学运算素养.3.会求简单的椭圆的标准方程,并掌握求曲线轨迹的方法．3.数学运算素养.

本章引入我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(coniicsections).

本章引入圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的联系．如行星绕太阳的运行轨道是椭圆，发电厂冷却塔外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接受天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些与圆相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线.本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征?我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础?

知新引入取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1,F2的距离之和是定值,并且这个定值大于两定点间的距离，即|MF1|+|MF2||F1F2|由此可得椭圆的定义.

知新探究把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆（ellipse).这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点(foocus)，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距(foocusdistance).焦距的一半称为半焦距.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数且2a|F1F2|)．注意：①动点M到两个定点F1,F2的距离之和是常数；②|MF1|+|MF2||F1F2|，即2a|F1F2|.当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时，动点M的轨迹是线段F1F2；当|MF1|+|MF2||F1F2|时，动点M没有轨迹.下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.F1F2M??

知新探究设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c0),M与F1,F2的距离的和等于常数2a(a0),则F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义可知，椭圆可以看作点集P={M||MF1|＋|MF2|＝2a},??观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy,如图.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？F1F2M??xyO

知新探究为了化简方程①，我们将其左边的一个式子移到右边，得???F1F2M??xyO对方程②两边平方，得?对方程③两边平方，得????由椭圆的定义知,2a2c0,即ac0,所以a2-c20.

知新探究??由于方程②③两边都是非负实数,因此以上方程的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y)都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(-c,0),(c,0)的距离之和为2a,即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥为椭圆方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.??F1F2P??xyO??

知新探究容易知道，此时椭圆方程是??观察右图，如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为(-c,0)，(c,0