4.1.3 幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册.pptx

第4章4.1.3幂函数

1.通过具体实例,了解幂函数的概念,体会蕴含的运算规律.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，的图象,理解它们的变化规律.(直观想象)3.能利用幂函数模型解决简单的实际问题.

给出下列5个说法:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数.⑤如果某人t秒内骑车行进了1米,那么他骑车的平均速度v=t-1米/秒,这里v是t的函数.问题:上述5个说法中,若自变量都用x表示,函数值用y表示,则对应的函数解析式分别是什么?

知识点一幂函数的概念一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数________叫做(α次)幂函数．y＝xα?

知识点三幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝定义域RRR________________值域R________R________________奇偶性奇函数________________非奇非偶函数________{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}偶函数奇函数奇函数

函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝单调性在R上递增在________上递减，在________上递增在R上递增在________上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点_____________________?(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)(0，0)，(1，1)(1，1)

归纳幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．

例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,试确定m的值.解：根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2;当m=-2时,f(x)=x-3.故m=3或-2.探究一幂函数的概念

幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.

例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab答案：A解析：由幂函数的图象特征,知c0,a1,0b1.故cba.探究二幂函数的图象

函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y=x-1或）来判断.(4)当α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递增;当α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递减.

例3比较下列各组中两个数的大小:探究三利用幂函数的单调性比较大小

1.比较幂大小的三种常用方法2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.

例4函数y=(m2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为()A.1 B.-1 C.2 D.-1或2答案：B探究四幂函数性质的综合应用解析：∵函数y=(m2-m-1)是幂函数,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2.当m=-1时,函数为y=x?1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.

归纳：1.幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.2.正整数次幂函数的奇偶性与幂指数的奇偶性一致.

1.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于()答案：D解析：∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.

2.下列函数是幂函数且在(0,+∞)上单调递减的是()

答案：D

3.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有()A.函数f