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第四章

线性空间和线性变换

第一节线性空间的定义

第二节线性空间的基和维数

第三节Euclid空间

第四节线性变换

第五节正交变换

第一节

线性空间的定义

线性代数第四章线性空间和线性变换第1节线性空间的定义

1VF

定义设是一个非空集合，是一个数域，如果在

VαβV

中定义有加法运算，使得对任意,∈，有唯一

V=+VF

的一个元素∈与之对应，记为γγαβ；在与

kFαV

之间定义有数乘运算，使得对任意∈及∈，有

V=k

唯一的元素∈与之对应，记为δδα，并且加法和

数乘运算满足如下八条基本规律：

(2)()=();

+=+α+β+γα+β+γ

(1)αββα;

(3)在V中存在元素0，使得对任意α∈V，有

α+0=α，称元素0是V的零元素；

(4)对任意α∈V，存在元素β∈V，使得α+β=0，

βα

称是的负元素；

线性代数第四章线性空间和线性变换第1节线性空间的定义

(5)1αα;(6)k(lα)(kl)α;

+αα=+α

(7)(kl)kl;(8)k(α+β)kα=+kβ,

意元素，是中的任意

其中αβγ,,是V中的任k,lF数，

是数域上

则称VF的线性空.

间

实数域上的线性空间称为实线性空间

复数域上的线性空间称为复线性空间

线性代数第四章线性空间和线性变换第1节线性空间的定义

1

例数域F上的全体m×n矩阵关于矩阵的加法和

m×n

数乘运算构成数域F上的线性空间，记为F.

2

例全体次数小于n且系数在数域F中的多项式及

零多项式所形成的集合关于多项式的加法和数乘

运算构成数域上的线性空间，记为

FF[x].

n

例3全体次数等于n的实系数多项式关于多项式的

加法和数乘运算不构成线性空间，这是因为该集合

对加法不封闭，并且也没有零元.

线性代数第四章线性空间和线性变换