高二上学期期末复习【第一章 空间向量与立体几何】八大题型归纳（基础篇）（解析版）_1.docx

2023-2024学年高二上学期期末复习第一章八大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）】

题型

题型1

空间向量的线性运算

1．（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）求a+2b-

A．2a+3

C．2a-5

【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.

【解答过程】原式=a+3×2

故选：B.

2．（2023上·吉林·高二统考期末）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+

??

A．AD B．GA C．AG D．MG

【解题思路】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可．

【解答过程】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴12BC=

∴AB+

故选：C.

3．（2023上·高二课时练习）化简下列算式：

(1)32

(2)OA-

【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；

（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】（1）3

=2a

（2）OA

=

=BA

4．（2022·高二课时练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C

(1)CB+

(2)AC+

(3)12

【解题思路】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简．

【解答过程】（1）解：CB+

（2）解：因为M是BB1的中点，所以BM=

所以AC+

（3）解：1

=

题型

题型2

空间向量数量积的计算

1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，

??

A．32 B．52 C．92

【解题思路】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.

【解答过程】BC

=

=

=3×

=9

故选：C.

2．（2023下·河北石家庄·高一校考期末）正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM?PN的最大值为（

A．13 B．43 C．14

【解题思路】设正四面体ABCD的内切球球心为O，G为△BCD的中心，E为CD的中点，连接AG，BE，则O在AG上，连接BO，根据题意求出内切球的半径，当MN为内切球的直径时，MN最长，化简PM?

【解答过程】设正四面体ABCD的内切球球心为O，G为△BCD的中心，E为CD的中点，连接AG，BE，则O在AG上，连接BO，则

因为正四面体的棱长为2，所以BG=

所以AG=AB

(AG-r)2

当MN为内切球的直径时，MN最长，此时OM

PM

=

=PO

因为P为正四面体表面上的动点，所以当P为正四体的顶点时，PO最长，PO的最大值为26

所以PM?PN的最大值为

故选：B.

3．（2023上·辽宁辽阳·高二校联考期末）如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G为棱

(1)证明：AG⊥平面BCE

(2)若AB=4，AD=6，ED=3

【解题思路】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABE，从而得到BC⊥AG，利用等腰三角形的中线性质得到AG⊥BE

（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AG,CF

【解答过程】（1）证明：因为AE⊥底面ABCD，所以AE

又AB⊥BC，AB∩AE=A，AB,

则BC⊥

因为G为棱BE的中点，AE=AB，所以

又BC∩BE=B，

所以AG⊥平面BCE

（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意可得A0,0,0，C4,6,0，G2,0,2

因为AG=2,0,2，

所以AG?

4．（2023上·内蒙古·高二校考阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为

??

(1)设PA=a，PB=b，BC=

(2)若PA=PB=

【解题思路】（1）连接BD,

（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.

【解答过程】（1）解：如图所示，连接BD,PE，可得

因为D为PC的中点，则BE=2

所以AE=

所以DE

=2

（2）解：因为AC=

所以AC?

=-2

因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB,BC?平面PBC

所以PA⊥

又因为PA=

所以-2

所以AC?

题型

题型3

用空间基底表示向量

1．（2023上·广西贵港·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=

??

A．38a+

C．34a+

【解题思路】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.