2025届高三数学一轮总复习 第七章 专题九 第1课时 范围、最值、证明问题[配套课件].ppt

2025年高考一轮总复习

第七章平面解析几何

专题九圆锥曲线的热点问题

第1课时范围、最值、证明问题

题型一范围问题

[例1]已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，离

心率为

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|

＝|AN|时，求m的取值范围.

【题后反思】解决圆锥曲线中的取值范围问题的突破口

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确

定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核

心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函

数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

【互动探究】

(1)求双曲线W的方程；

(2)过点Q(0，－2)的直线l交双曲线W的右支于两个不同的

点A，B(B在A，Q之间).若点H(7，0)在以线段AB为直径的圆的

外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围.

(2)设直线l：y＝kx－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

题型二最值问题

考向1利用函数、导数法求最值

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).图9-1

设△AOB的面积为S(t)，

考向2利用基本不等式求最值

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[例3]已知直线l1过坐标原点O且与圆x＋y＝4相交于点A，

B，圆M过点A，B且与直线y＋2＝0相切.

(1)求圆心M的轨迹C的方程.

(2)若圆心在x轴正半轴上，面积等于2π的圆W与曲线C有

且仅有一个公共点.

①求圆W的标准方程；

②已知斜率等于－1的直线l2交曲线C于E，F两点，交圆W

令1＋m＝u，则u∈(2，6)，

【题后反思】最值问题的2种基本解法

根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析

几何法几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的

距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)

建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函

代数法

数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)

【互动探究】

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设直线AB的方程为y＝kx＋m.

把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理，

得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.

Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12＝27k2＋3＞0.