高二下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（解析版）_1.docx

2023-2024学年高二下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练

【人教A版（2019）】

题型

题型1

曲线的切线问题

1．（2023上·江西·高三统考开学考试）已知函数fx

(1)当a=0时，求曲线y=f

(2)若fx在1,+∞上仅一个零点，求a

【解题思路】（1）由a=0得到f

（2）将问题转化为a+lnx-ax=0在1,+∞上仅有一个实数解，设gx=lnx

【解答过程】（1）解：当a=0时，fx=xln

又fx=

故曲线y=fx在1,f1

（2）由题意知，方程xa+ln

则方程a+lnx-

设gx=ln

当a≤0时，gx0，所以

又g1=ln1-a+a=0，所以

当a≥1时，x1时，ax1，则gx

又g1=0，所以gx0，则

当0a1时，1a1，当x∈1,1

所以gx在1,1a

则g1ag1=0

设hx=ex-

则exx

设φx=e

令mx=e

当x∈0,ln

所以mx在0,ln2

则mx≥m

所以φx在0,+

又φ0=0，所以φx0，则ex

又e1a∈1a

又gx在1a,+

所以gx在1a

综上可知，a的取值范围为0,1.

2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数fx=x

(1)若过点Pt,0作曲线y=

(2)若fx≥g

【解题思路】（1）设切点Mx0,x0e2x0

（2）先证明当x∈0,+∞时，有ex≥x+1.然后可推得fx≥lnx+2x+1

【解答过程】（1）设切点Mx0,x0

根据导数的几何意义，得2x

化简可得，2x02

于是Δ=4t2+8t

所以当t=0或t=-2时，过点P作曲线

（2）设hx=ex-

于是hx在0,+∞上单调递增，则hx

因此当x∈0,+∞

则有f(x)=

当且仅当lnx

令kx=lnx+2

即kx=lnx+2x在

根据零点存在定理可得，?x0∈

于是fx≥ln

所以当a≤2时，fx≥

当a2时，存在x00满足ln

此时，fx

综上，a的取值范围是-∞

3．（2023·全国·高三专题练习）设函数fx=13x3-a2

(1)确定b，c的值；

(2)若过点(0,2)可作曲线y=fx的三条不同切线，求

【解题思路】（1）根据切线方程可知f(0)=0,

（2）先设出切点(t,f(t))，再写出切线的方程，利用切线过(0,2)得到关于t的方程

【解答过程】（1）解：f(0)=

f

∴

∴

（2）解：设切点为(t,

则切线方程为y

即：y

∵点(0,2)在切线上，

∴-(

整理得：2

令g

则题目问题可转化为g(t)=0

令g

解得：t=0或

由g(t)0得t0或ta

由g(t)0得0t

∵g(0)=10

∴?x1

∵

∴结合g(t)

即2

解得：a

所以a的取值范围为(23

4．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)求函数fx在x

(2)若x1+x2+?+

【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）首先求出f(x)在x=a处的切线方程y=1-a

【解答过程】（1）由f(x)=

所以fx在x=1处的切线斜率

且f1=1

（2）设fx在x=a

由（1）得k=

且f(a)=aea，故

设gx=1-

设hx=1-

因为0x≤2，所以hx≥0，仅在x

列表如下．

x

x

x

g

g

g

gx

极小值g

gx

所以gx≥0，即

令x=x1,x

则有1-aeax1+a

累加得1-a

即2?1-

取a=2n

当n=1时，fx

综上可得fx

题型

题型2

两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

5．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数fx

(1)若a=1,fxg

(2)若函数fx和gx有公切线，求实数a

【解题思路】（1）设hx=f

（2）设函数fx在点x1,fx

由fx1=gx2

【解答过程】（1）由题意，当a=1时，设h

则hx

h

令hx=0

hx在0,1上单调递减，在1,+

∴h(

根据题意t的取值范围为0,1.

（2）设函数fx在点x1,fx

则f

∴x1

得14

∴问题转化为：关于x的方程14

设Fx=1

∵Fx=

lnx

∴问题转化为：Fx的最小值小于或等于

F

设2x

当0xx0时，F

∴Fx在0,x

∴Fx的最小值为

由2x02

故Fx

设φx

则φ

故φx在0,+

∵φ1=0,∴当x

∴Fx的最小值Fx

又∵函数y=2x-

∴a

6．（2023·高二课时练习）已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

【解题思路】（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣1k的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲