东北师大附属中学2024届高三第二次质检数学试题试卷.doc

东北师大附属中学2023届高三第二次质检数学试题试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）

A． B．0 C．1 D．3

2．已知函数，若则（）

A．f(a)f(b)f(c) B．f(b)f(c)f(a)

C．f(a)f(c)f(b) D．f(c)f(b)f(a)

3．若，则的值为（）

A． B． C． D．

4．已知函数，则下列判断错误的是（）

A．的最小正周期为 B．的值域为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

5．已知平面向量，满足，，且，则（）

A．3 B． C． D．5

6．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）

A． B．4 C． D．2

7．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.

A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元

8．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）

A． B． C． D．

9．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为()

A． B． C． D．6

10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；

②曲线上的点到原点的最大距离为；

③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；

④四叶草面积小于.

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④

11．下列结论中正确的个数是（）

①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；

②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；

③在中，“”是“”的必要不充分条件；

④若，则的最大值为2.

A．1 B．2 C．3 D．0

12．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.

14．已知等差数列满足，，则的值为________．

15．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．

16．函数的值域为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

18．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.

19．（12分）已知.

（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；

（2）试讨论函数零点的个数.

20．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

21．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，.

（Ｉ）证明：；

（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.

22．（10分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．

（1）求证：；

（2）若时，恒成立，求的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。

【详解】

因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得，

化简得，即

令，所以，故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

2．C

【解析】

利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.

【详解】

因为，所以在上单调递增；

在同一坐标系中作与图象，

，可得，故.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

3．C

【解析】

根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

因为，所以二项式的展开式的通项公式为