巧用“成比例线段”解决数形结合题——一道中考填空压轴题的深度剖析-国际应用数学进展.docx

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巧用“成比例线段”解决数形结合题——一道中考填空压轴题的深度剖析

【摘要】比例线段是《义务教育数学课程标准（2022年版）》几何模块中的重要组成部分，本文是对2023年无锡中考填空第18题的深度剖析。该题是一个二次函数的几何综合题，考查了学生对数形结合的理解和运用能力。本题共有六种情况，每种情况都有其特点和规律，对学生的直观想象素养和逻辑推理能力要求较高，是一道具有挑战性和内涵的数学题。

【关键词】比例线段；数形结合；中考题

【收稿日期】2024年1月18日【出刊日期】2024年3月21日【DOI】10.12208/j.aamSkillfullyuseproportionallinesegmenttosolvethecombinationofnumberandshapeproblem——adeepanalysisofthemiddleschoolexamfillingintheblanks

【Abstract】TheproportionallinesegmentisanimportantpartofthegeometrymoduleoftheCompulsoryEducationMathematicsCurriculumStandard(2022edition).Thispaperisanin-depthanalysisofthe2023WuxihighSchoolEntranceexaminationNo.18.Thisproblemisageometricsynthesisproblemofquadraticfunctions,whichexaminesstudentsabilitytounderstandanduselogarithmiccombination.Therearesixcasesinthisquestion,eachofwhichhasitsowncharacteristicsandrules.Itrequiresstudentstohavehighintuitiveimaginationqualityandlogicalreasoningability.Itisachallengingandconnotationmathproblem.

【Keywords】Proportionallinesegment;Combinationofnumberandform;Secondaryschoolexaminationquestions

比例线段是《义务教育数学课程标准（2022年版）》几何模块中的重要组成部分，是学习相似三角形的基础，相似三角形线段之间的关系由全等的相等关系变为比例关系。本文是对2023年无锡中考填空第18题的深度剖析。该题是一个二次函数的几何综合题，考查了学生对数形结合的理解和运用能力。无锡中考的数学试卷以计算量大、区分度高为特色，因此，对于这类复杂的题目，学生如果能够利用比例线段的性质，避免繁琐的解析几何运算，就能够节省时间，提高效率，从而在考场上取得更好的成绩。

本题是一个二次函数的几何综合题，考查了学生对二次函数的图像、性质、求解方法等综合知识的掌握，以及对直角三角形、相似三角形和中线等基本几何概念和定理的理解和运用能力。本题的难点在于需要学生通过数形结合的思想，根据不同的情况，运用几何直观和分类讨论的方法，找出合适的解题策略，从而简化计算，提高效率。本题共有六种情况，每种情况都有其特点和规律，对学生的直观想象素养和逻辑推理能力要求较高，是一道具有挑战性和内涵的数学题。

1试题呈现

二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点C，过点M(3,1)的直线将

△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为.

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2试题解析

由题意明显A(1,0),B(1,0),C(0,5a),根据a的条件可得M点在三角形内部的，因为易知直线BM在y轴的截距为5a。根据题意可分为两大部分：

（1）当分成两个三角形时，直线必过三角形的顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线。

（2）当分成三角形和梯形时，过点M的直线