高考大题研究课十.DOCXVIP

高考大题研究课十圆锥曲线中的证明与探索性问题

会用直线与圆锥曲线中有关知识解决证明与探索性问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．

关键能力·题型剖析

题型一证明问题

例1(12分)[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．

思路导引

(1)由题意求出a，b→C的方程

(2)设直线方程→与C联立→消去y→韦达定理→写出直线MA1，NA2的方程→联立消去y→解得x，即交点的横坐标为定值→点P在定直线上．

[满分答卷·评分细则]

解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2＝1(a

由焦点坐标得c＝25，由e＝ca＝5得a＝2，b＝c2-a2＝4，→正确求出a，b

∴双曲线方程为x24-y216

2由1可得A1-2，0，A2

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线的斜率不为0，

所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－12＜m＜12.→正确设出直线MN的方程得

联立方程组x=my-4x24-y216=1得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，则y1＋y2＝32m4m2-1，y1y2＝484m2-1，→正确消去x得到关于y的一元二次方程，

直线MA1的方程为y＝y1x1+2(x＋2)，直线NA2的方程为y＝y2x2-2(x－2)→正确写出直线

联立直线方程y=y1x

x+2x-2＝y2x1+2y1x2-2＝y2my1-2y1my

可得x=-1，即xp=-1，@所以点P

题后师说

圆锥曲线证明问题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何要素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系相等或不等．

(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

巩固训练1

[2023·北京卷]已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(ab0)的离心率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D

(1)求E的方程；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.

题型二探索性问题

例2[2024·河南郑州模拟]已知椭圆x2a2+y2b2＝1(ab0)的离心率为12，F为椭圆的右焦点，A为椭圆的下顶点，A与圆x2＋(y－2

(1)求椭圆的方程；

(2)设点D在直线x＝1上，过D的两条直线分别交椭圆于M，N两点和P，Q两点，点F到直线MN和PQ的距离相等，是否存在实数λ，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

题后师说

存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．

巩固训练2

[2024·江西南昌模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当△OAB为等边三角形时，|AB|＝83.

(1)求C的标准方程；

(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足PA+PB＝4PF，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，

高考大题研究课十圆锥曲线中的

证明与探索性问题

关键能力·题型剖析

巩固训练1解析：依题意，得e＝ca＝53，则c＝5

又A，C分别为椭圆上、下顶点，|AC|＝4，所以2b＝4，即b＝2，

所以a2－c2＝b2＝4，即a2－59a2＝49a2＝4，则a2＝

所以椭圆E的方程为x29

解析：因为椭圆E的方程为x29+y24＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D

因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0m3，0n2)，则m29+

易得kBC＝0+2-3-0＝－23，则直线BC的方程为y＝－23x

kPD＝n-0m-3＝nm-3，则直线PD的方程为y＝nm-3(x－

联立y=-23

即M33n-2m+6

而kPA＝n-2m-0＝n-2m，则直线PA的方程为y＝n-2mx

令y＝－2，则－2＝n-2mx＋2，解得x＝-4mn-2，即N

又m29+n24＝1，则m2＝9－9n24，8

所以kMN＝-12n

＝-6n+