高考文科数学二轮总复习课后习题 题型专项集训3 大题专项(一).docVIP

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题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题

1.(北京,16)在△ABC中,sin2C=3sinC.

(1)求角C;

(2)若b=6,且△ABC的面积为63,求△ABC的周长.

2.在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,

3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA=acosB-

(1)求B;

(2)若c=5,b=7,求△ABC的周长.

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且8cos2B+C2

(1)求A;

(2)若a=2,且△ABC面积的最大值为3,求△ABC的周长的取值范围.

5.已知函数f(x)=3cos2x-

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求证:当x∈-π4,

6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=π3,△ABC的面积为23

(1)若sinB=4sinC,求a;

(2)若a=3,求cosBcosC的值.

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-π6sinA+

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形,a=1,求△ABC的周长的取值范围.

8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cosC+c·cosB=0.

(1)若△ABC的面积为32

(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b.

答案：

1.解:(1)由sin2C=3sinC,得2sinCcosC=3sinC.

∵角C是三角形的内角,

∴sinC0,∴cosC=32

又0Cπ,∴C=π6

(2)∵S△ABC=63,∴12absinC=63

又b=6,C=π6

∴12×6×a×12=63,解得a=4

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(43)2+62-2×43×6×32=12,∴c=23

∴△ABC的周长为43+6+23=63+6.

2.解:方案一:选条件①.

由C=π6和余弦定理,得a

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b

由①ac=3,解得a=3,b=c=1.

因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.

方案二:选条件②.

由C=π6和余弦定理,得a

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b

由此可得b=c.所以B=C=π6

由A+B+C=π,得A=π-π6

由②csinA=3,即csin2π3=3,所以c=b=23

因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23.

方案三:选条件③.

由C=π6和余弦定理,得a

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b

由③c=3b,与b=c矛盾.

因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.

3.解:(1)由bsinA=acosB-

得sinBsinA=sinAcosB-

因为sinA≠0,所以sinB=cosB-

即sinB=32cosB+12sinB,即sin

因为-π3B-π32π3

(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍去).

所以△ABC的周长为8+7+5=20.

4.解:(1)∵8cos2B+C2

∴4(1+cos(B+C))-2cos2A=3,

∴4cos2A+4cosA-3=0,解得cosA=12或cosA=-3

又A∈(0,π),∴A=π3

(2)由题意知S△ABC=12bcsinA=34bc≤

∴bc≤4.

又b2+c2-a2=2bccosA,a=2,

∴b2+c2=4+bc,∴(b+c)2=4+3bc≤16.

又b+c2,∴2b+c≤4,∴4a+b+c≤6.

∴△ABC的周长的取值范围为(4,6].

5.(1)解:f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+3

所以f(x)的最小正周期T=2π2

(2)证明:因为-π4≤x≤π4,所以-π6

所以sin2x+π3≥sin-π

所以当x∈-π4,

6.解:(1)由A=π3,△ABC的面积为23,得12bcsinπ3

由sinB=4sinC,得b=4c,所以b=42,c=2.

所以a2=(42)2+(2)2-2×42×

所以a=26.

(2)由正弦定理得3sinπ3=b

所以12sinBsinC=bc=8,所以sinBsinC=23

由B+C=2π3,得cos(B+C)=cosBcosC-sinBsi