数学学案：本讲小结第一讲相似三角形的判定及有关性质.docxVIP

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典例精讲

【例1】如图1—1已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线,

求证：=。

图1—1

思路分析：比例线段常由平行线而产生，在没有平行时，可通过添加平行线而促成比例线段的产生。

证法一：过C作CE∥AD交BA的延长线于E.

∵AD∥CE，∴=。

又∵∠1=∠3，∠2=∠4,AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴AC=AE.

∴=.

温馨提示

这里使用了平行线分线段成比例定理推论，通过等线代换方法使问题得证.

证法二：过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3。

图1-2

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3.

∴EA=ED.又=，

==.

∴=。

温馨提示

本题利用平行线及等比代换，使问题得证.

证法三:过D作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.

易证四边形AEDF是菱形。

图1—3

∴DE=DF.

由于△BDE∽△DFC，

∴==。

又=，

∴=。

温馨提示

这种方法使用了相似三角形的边对应成比例。

图1—4

证法四:设△ABC中BC边上的高为h,

则S△ABD=BD·h,S△ACD=CD·h。

过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,

则S△ABD=AB·DE，

S△ACD=AC·DF。

于是=。

又∵∠1=∠2,

∴DE=DF.

∴=。

温馨提示

利用三角形面积也是一种常用方法.面积方法常有事半功倍之效.

【例2】如图1—5，梯形ABCD中，BA∥CD,对角线AC、BD交于点E，过E作FG∥AB,交AD、BC于G、F点.

(1）求证：EF=EG.

(2)求证：+=。

（3)若直线l平行于底边但不过E，与BC、AC、BD、AD分别交于F′、M、N、G′，试问：F′M与G′N有何关?并说明理由.

图1-5

证明:(1）∵AB∥FG∥CD,

∴===。

∴EF=EG。

(2)∵EF∥AB=AB=.

同理，CD=.

由（1)知EF=EG。

∴+=.

(3）∵FG∥F′G′,

∴.

而EF=GE.

∴F′M=G′N.

温馨提示

(1)中利用比例式证明线段相等，=,则a=b。

（2)利用比例法证明形如线段关系式，常采用思路是设法证明，且m1+m2=d,则=1.从而。

(3)利用运动变化思想以及从特殊到一般的思考方法，是我们研究数学问题的一般规律。

【例3】如图1—6-，△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC，DE⊥AB,D、E为垂足.

求证:=.

图1-6

思路分析:左边是平方,需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。

证法一:由射影定理得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,

∴==.

∵DE⊥AB,∴CA⊥AB.

∴DE∥AC。

∴=。

∴=.

温馨提示

降幂法是欲证，先证a2=be,则，再证或先证a2=ef,b2=eg,则,再证.

证法二:∵DE∥AC,∴△BED∽△BAC。

∴=。∴=。

由射影定理DE2=AE·BE。

∴==。

温馨提示

升幂法是欲证，先证(x为待定线段),则，再证x2=cd，则.

证法三:易证△ABD∽△CAD.

∴=（)2=。

又==。

∵DE∥AC，∴=。

∴=。

温馨提示

利用相似三角形面积比等于相似比也是此类题的常用作法。

证法四:∵△ABD∽△CBA，

∴=。①

∵△ACD∽△BCA，

∴=。②

∴①×②，=·=。

而∵DE∥AC,∴=.

∴=。

温馨提示

将分解为和，这称为凑比法.

【例4】如图1-7,已知△ABC中DE∥BC，且AD2=AF·AB。

求证：EF∥CD.

图1—7

思路分析:要证EF∥CD，需证=,而由AD2=AF·AB，则=。

证明:∵DE∥BC,∴=。

∵AD2=AF·AB,∴=.

∴=。∴EF∥CD。

【例5】如图1-8，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC,DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

（1）求证：△ABC∽△FCD。

（2)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.

图1—8

（1)证明：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC.

∵DE⊥BC，BD=DC,∴BE=CE。

∴∠B=∠DCF。

∴△ABC∽△FCD。

（2)解：过点A作AM⊥BC，垂足为M.

由△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴=（）2=4.

∴S△ABC=20.

∴20=×10×AM.

∴