2.9函数的极值与最大值最小值公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

§2.9函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值

二、函数的最大值和最小值

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§2.9函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值

1.函数极值的定义

y

ax1Ox2x3x4x5x6bx

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§2.9函数的极值与最大值最小值

定义1设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是

(a,b)内的一个点,

如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的

任何点x,除了点x0外,f(x)f(x0)均成立,就称

f(x0)是函数f(x)的一个极大值;

如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的

任何点x,除了点x0外,f(x)f(x0)均成立,就称

f(x0)是函数f(x)的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数获得

极值的点称为极值点.

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§2.9函数的极值与最大值最小值

注

函数的极大值、极小值只是一点附近的

最大值与最小值,是局部的.在一种区间内,

函数可能存在许多个极值，在整个定义域

上，某一点的极大值，甚至可能不大于极

小值.

y

极小值

极大值

x1Ox2x

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§2.9函数的极值与最大值最小值

2.极值的必要条件

定理（必要条件）如果函数在点处取得

1f(x)x0

极值且在处可导则必有

,x0,f(x0)0.

证明略.(费马引理)

导数等于零的点称为函数的驻点.

例如，f(x)x33x224x1

f(x)3x26x243(x4)(x2)

令f(x)0，得驻点x14,x22.

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§2.9函数的极值与最大值最小值

注①可导函数的极值点一定是驻点，但

反过来驻点不一定是极值点；

②导数不存在的点也可能是极值点.

例如，yy

yx3

yx

Ox

Ox

在获得极小

0是驻点，但在(0,0)

值，但点不可导

(0,0)函数无极值0

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§2.9函数的极值与最大值最小值

3.极值的充足条件

定理第一充足条件设在点连续且在

2()f(x)x0,

x0的某去心邻域内可导.

(1)如果在x0左侧附近，有f(x)0(0);

而在x0右侧附近，有f(x)0(0),则

f(x0)为极大值(极小值);

若在附近不变号则fx不是极值

(2)f(