第09章第03节格林公式与积分路径无关【仅数学一】（紧凑版）.pdfVIP

第九章三重积分和曲线曲面积分

第03节格林公式与积分路径无关

1.格林公式（补线和挖洞）

2.积分与路径无关

1.格林公式（补线和挖洞）

222

【例题1】设为取正向的圆周xy9，则曲线积分(2xy2y)dx(x4x)dy的

L

L

值是．

L22

【例题2】设为正向圆周xy2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy2ydx的

值为．

L22

【例题3】已知是第一象限中从点(0，0)沿圆周xy2x到点(2,0)，再沿圆周

22

xy4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分

23

IL3xydx(xx2y)dy．

xdyydx

【难题4】计算积分I．

22

Lxy

22

（Ⅰ）是圆周(x2)(y2)2，取逆时针方向；

L

（Ⅱ）是圆周22，取逆时针方向；

Lxy1

【难题5】已知平面区域D(x,y)0x,0y，为的正向边界．试证：

LD

（Ⅰ）sinysinxsinysinx；

xedyyedxxedyyedx

LL

（Ⅱ）sinysinx2．

xedyyedx2

L

【难题6】设在上半平面D(x,y)y0内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意



t02

的都有f(tx,ty)tf(x,y)．证明：对内任意分段光滑的有向简单闭曲线，

DL

都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0．

L

2.积分与路径无关

xf(x)

【例题7】设曲线积分L[f(x)e]sinydxf(x)cosydy与路径无关，其中具有

一阶连续导数，且f(0)0，则f(x)等于()．

xxxxxxxx

eeeeee