专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1空间向量数量积的计算】 2

【题型2空间向量的夹角及其应用】 4

【题型3利用空间向量的数量积求模】 6

【题型4向量垂直的应用】 8

【题型5投影向量的求解】 11

【知识点1空间向量的夹角与数量积】

1．空间向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.

特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.

2．空间向量的数量积

定义

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

性质

①a⊥b?a·b＝0

②a·a＝a2＝|a|2

运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

3．空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．

4．空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入求解．

【题型1空间向量数量积的计算】

【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（???）

A．-1 B．0 C．1 D

【解题思路】令AB=a

【解答过程】令AB=

则AB·

=a

=a

故选：B.

【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF=2FD，则向量BE?CF=

A．-13 B．13 C．-12

【解题思路】由向量的运算可得BE=12(

【解答过程】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，

∵CE

∴BE

∴

=BA

∴

=

=

故选：A.

【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB

A．109 B．263 C．8

【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将

【解答过程】∵P-ABC为正三棱椎，O

∴PO⊥平面ABC，AO、BO

∴PO⊥AO，PO

△ABC是等边三角形，

∴PO?OA=0

故PO?

PO?

则PO?

故选：D.

【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD

A．-2,0 B．-1,0 C．0,1 D

【解题思路】求出正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球O的半径

【解答过程】设正方体ABCD-A1B1C1

则2R=23，可得R

PE

=P

当点OP与正方体ABCD-A1B1

当点P与正方体ABCD-A1B1

所以，1≤OP≤3

故选：A.

【题型2空间向量的夹角及其应用】

【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a-b)?b=0

A．30° B．60° C．120° D．150°

【解题思路】设a与b的夹角为θ，则由(2a-b)?b=0，a=

【解答过程】设a与b的夹角为θ，

因为(2a-b

所以2a

因为非零向量a，b满足a=

所以cosθ

因为θ∈[0,π]，所以θ

故选：B.

【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=

A．30° B．45°

C．60° D．以上都不对

【解题思路】设a与b的夹角为θ，由a+b+

【解答过程】设a与b的夹角为θ，

由a+b+

两边平方，得a2

因为a=2,

所以4+2×2×3cosθ+9=16

故选：D.

【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC

A．12 B．22 C．-1

【解题思路】利用OB=OC，以及OA?

【解答过程】解：∵OB

所以OA

=

所以cosOA

故选：D．

【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1

A．60° B．120°

C．30° D．90°

【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．

【解答过程】a

a

b

所以cosa

所以a,

故选：B.

【题型3利用空间向量的数量积求模】

【例3】（20