专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

专题1.4空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1求空间点的坐标】 1

【题型2空间向量运算的坐标表示】 2

【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】 3

【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】 3

【题型5空间向量模长的坐标表示】 4

【题型6空间向量平行的坐标表示】 6

【题型7空间向量垂直的坐标表示】 7

【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】 8

【知识点1空间直角坐标系】

1．空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系及相关概念

①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.

②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

(2)右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

2．空间一点的坐标

在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

【题型1求空间点的坐标】

【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A-1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（????）

A．1,1,-3 B．-1,-1,-3 C．1,1,3 D．

【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,-1,0)，若向量AB=-1,6,-3，则点

A．(1,-6,3) B．(5,4,-3) C．(-1,6,-3) D．(2,5,-3)

【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,-1,0，且AC=2CB，则点

A．3,0,1 B．2,1,2

C．32,-3

【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,

①点P关于x轴的对称点是P

②点P关于yOz平面的对称点是P

③点P关于y轴的对称点是P

④点P关于原点的对称点是P

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

【知识点2空间向量的坐标运算】

1．空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

2．空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有

向量运算

向量表示

坐标表示

加法

a＋b

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

减法

a－b

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数乘

λa

λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R

数量积

a·b

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

【题型2空间向量运算的坐标表示】

【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,-4,2，b=2,-3,1，则

A．7,-10,4 B．5,-7,3 C．1,-1,1 D．-

【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,

A．-2,-2,-2 B．（8，15，3

【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,-4,b=-

A．0,3,-6 B．0,6,-20 C．0,6,-6 D．6,6,-6

【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（?????）

A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）

C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）