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专题1-3两条直线的位置关系（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）

知识点一．两直线平行

1．特殊情况下的两条直线平行的判定

两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行．

2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定

两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即．

证明如下：

设两条直线的斜率分别为．

如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．

∴，∴．

反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么．

由于，∴．又两条直线不重合，∴．

知识点二．两直线垂直

1．特殊情况下的两条直线垂直的判定

当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直．

2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于?1，那么它们互相垂直，即．

证明如下：

设两条直线与的倾斜角分别为与．

如果，这时．否则，则，与相矛盾．

设（如下图），

图（1）的特征是与的交点在x轴上方；

图（2）的特征是与的交点在x轴下方；

图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有．

∵，的斜率分别是，且，∴．

∴．∴，即．

反过来，若，即．

不失一般性，设，则，即，

∴．

知识点三、两直线位置关系的判定方法

1.已知两直线的斜率存在

两直线平行、两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;

两直线垂直、两直线的斜率之积为-1.

2.已知两直线的斜率不存在

若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行;否则两直线重合

知识点四、两直线的夹角与垂直关系

两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.

如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0.

平面上两条直线夹角的范围：.

两条直线：（其中不同时为零；不同时为零）的夹角为：.

两条直线：的夹角为：，

.

注：公式应用前提是两直线的斜率均存在.

两条直线垂直的充要条件：

题型一：两条直线相交、平行与重合的判定

一、单选题

1．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（???）

A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直

2．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若直线与直线平行，则（????）

A． B．0 C．1 D．1或

3．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）“”是“直线与直线平行”的（????）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

二、填空题

4．（2023上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则．

5．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知直线与直线平行，则实数.

6．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为.

7．（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知直线：与：，若，则实数的值为．

三、解答题

8．（2023上·高二课时练习）求证：在直角坐标平面内，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等．

9．（2023上·高二课时练习）已知直线，，分别求的取值范围，使得：

(1)与相交；

(2)；

(3)与重合.

10．（2024·全国·高二专题练习）已知经过，经过，，求证：．

题型二：两条直线位置关系的应用

11．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．

12．（2024上·上海·高二假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．

13．（2023下·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.

(1)若，求实数的值；

(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.

14．（2023上·高二课时练习）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

题型三：两条直线垂直的判定

15．（2023上·高二课时练习）已知直线与垂直，求实数的值.

16．（2023上·高二课时练习）设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是．

题型四：两条直线垂直的应用

17．（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且.

(1)求的值；

(2)求边上的中线所在直线的方程.

18．（2022上·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.

(1)若直线与法向量平行，写出直