湘教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第2章 空间向量与立体几何 2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 (2).docVIP

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2.3.1空间向量的分解与坐标表示

A级必备知识基础练

1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若BD1=xAB+yAD+z

A.(1,1,1) B.(1,1,-1)

C.(1,-1,1) D.(-1,1,1)

2.(多选题)设{a,b,c}为空间的一组基,则下列选项中正确的是()

A.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一组基

B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

C.对空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc

D.存在有序实数对,使得c=xa+yb

3.在标准正交基{a,b,c}下,已知{a+b,a-b,c}是空间的另一组基.若向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为 ()

A.(4,0,3) B.(1,2,3)

C.(3,1,3) D.(2,1,3)

4.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若BD=6PA-4PB+λPC,则λ=()

A.2 B.-2 C.1 D.-1

5.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,且AB=a,AD=b,AA

A.a-b-c=BD

B.a+b+c=A

C.a+b-c=A1

D.a-b+c=B

6.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则MN的坐标为.?

7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD可用a,b,c表示为.?

8.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上,且BE=13BB1,DF=23DD

(1)证明:A,E,C1,F四点共面;

(2)若EF=xAB+yAD+zAA

B级关键能力提升练

9.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若DE=xAB+yAC+zAP,则x+y+z=()

A.1 B.2 C.13 D.

10.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量共面的是()

A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b

C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c

11.(多选题)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{MA,

A.OM

B.MA=MB

C.OM=OA+2OB

D.MA=3MB-2MC

12.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,则OM的坐标为.?

13.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+z

14.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,且OP=2e1-e2+3e3,OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3.

(1)判断P,A,B,C四点是否共面.

(2)能否以{OA,OB,

C级学科素养创新练

15.在如图所示的平行六面体ABCD-ABCD中,已知AB=AA=AD,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°,BM=14BC,N为CD上一点,且D

A.12 B.13 C.1

16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.

2.3.1空间向量的分解与坐标表示

1.D连接B1D1,BD1=BB1+B1D1,又BB

2.AC设a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xb+(x+y)c,x,y∈R,则x=1

若a⊥b,b⊥c,不能推出a⊥c,故B错误;

由空间向量基本定理知,空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;

若c=xa+yb,则a,b,c共面,不能构成空间向量的一组基,故D错误.故选AC.

3.C设向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,

又向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则p=4a+2b+3c,

所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,

所以x+y

所以向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).故选C.

4.BBD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λ