重难点05基本不等式求最值的2种解题方法（解析版）_1.docx

重难点05基本不等式求最值的2种解题方法

【考点剖析】

题型一：基本不等式-运用凑配法求最值

一．选择题（共4小题）

1．（2022秋?金水区校级期末）若a＞2，则a+有（）

A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为0 D．最大值为0

【分析】利用配凑法运用基本不等式求最值．

【解答】解：a＞2，则a+＝a﹣2++2≥2+2＝4，

当且仅当a＝3取等号，则a+有最小值4．

故选：A．

【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题．

2．（2019秋?徐汇区校级期中）设x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（）

①；②；③；④；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】设x＞0，y＞0，x+，所以①成立，利用基本不等式可知②成立，＝，不成立，，当x＝y时成立，得出结论．

【解答】解：设x＞0，y＞0，x+，所以①成立，

因为x＞0，y＞0，所以＝，

当且仅当x＝y＝1时取等号，故②成立，

＝，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5＝4，显然不成立，

，当x＝y时成立，

故正确的有三个，

故选：C．

【点评】考查基本不等式的应用，注意一正二定三相等，条件是否成立，基础题．

3．（2022秋?广州期末）已知x＜0，则的最小值为（）

A． B．4 C． D．

【分析】利用配凑法求的最小值即可．

【解答】解：＝+（1﹣x）﹣1≥2﹣1＝2﹣1，当且仅当＝1﹣x，即x＝1﹣时取等号，

所以的最小值为2﹣1．

故选：D．

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．

4．（2022秋?九龙坡区校级期中）若a＞﹣3，则的最小值为（）

A．2 B．4 C．5 D．6

【分析】把常数分离后即可利用基本不等式求最值．

【解答】解：a＞﹣3，＝≥2＝4，

当且仅当a+3＝，即a＝﹣1取等号．

故选：B．

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．

二．填空题（共9小题）

5．（2022春?甘州区校级月考）函数的最小值是2．

【分析】可以通过配凑法使得两式的积出现定值，再利用基本不等式求最小值．

【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．

∴≥2＝．

当且仅当时，f（x）取得最小值2．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查利用配凑法解决基本不等式的最值问题，属于基础题．

6．（2022秋?徐汇区校级期中）若x＞1，则的最小值为4．

【分析】由题意可得：＝x﹣1+1+＝，然后结合基本不等式求解即可．

【解答】解：x＞1，

则＝x﹣1+1+＝，当且仅当，即x＝2时取等号，

故答案为：4．

【点评】本题考查了基本不等式，属基础题．

7．（2018秋?浦东新区校级期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是

【分析】由已知分离﹣＝＝，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，

则﹣＝＝

＝（）[x+（y+1）]﹣4

＝（5+）﹣4＝

当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/

故答案为：

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换

8．（2016秋?黄浦区校级期末）若x＞1，则的最小值为5．

【分析】原式变形得，，由x＞1得出x﹣1＞0，从而，即得出最小值．

【解答】解：

＝；

∵x＞1；

∴x﹣1＞0；

∴；

∴；

∴最小值为5．

故答案为：5．

【点评】考查函数最值的定义及求法，以及基本不等式求最值的方法．

9．（2017春?浦东新区校级期末）函数y＝4x+（x＞5）的最小值是32．

【分析】先进行换元t＝x﹣5，则t＞0，可得y＝4x+＝4t++20，然后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：由x＞5可得x﹣5＞0，

令t＝x﹣5，则t＞0，

则y＝4x+＝4t++20＝32，

当且仅当4t＝即t＝时取得最小值32，此时x＝．

故答案为：32

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，属于基础试题．

10．（2022秋?天津期末）若x＞﹣1，则的最小值为．

【分析】利用配凑法求函数最值即可．

【解答】解：若x＞﹣1，则＝2（x+1）+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，

当且仅当2（x+1）＝，x＝﹣1，取等号．

故答案为2﹣2．

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．

11．（2022秋?西城区校级月考）函数y＝x+（x＞﹣1）的最小值是，此时x的值．

【分析】因为x＞﹣1，即x+1＞0，则，然后即可得解．

【解答】解：因为x＞﹣1，即x+1＞0，

则＝，当且仅当，即时取等号，

故答案为：；．

【点评】本题考查了基本不等式，属基础题．

12．（2022秋?渝北区校级期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为．

【分析】将化为24﹣3x+4﹣3x＝2y+1+y+1，利用函