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培优课直线与椭圆的位置关系
A级必备知识基础练
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2
A.1 B.1或2 C.2 D.0
2.直线y=x+1被椭圆x2
A.23,53 B.43
C.-23,13 D.-132,-
3.(四川成都蓉城名校联盟高二期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=
A.±12 B.±1 C.±3
4.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2
A.y=2x-3 B.y=2x+1
C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
5.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为.?
6.若P,Q是椭圆C:x24+
B级关键能力提升练
7.已知椭圆x24+y2b2=1(0b2)的左、右焦点分别为F1,F2
A.1 B.2 C.32 D.
8.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|
A.1 B.2 C.3 D.4
9.经过椭圆x22+y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·
10.已知椭圆C:90),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为.?
11.(云南昆明一中高二期中)已知椭圆C:x2a2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F1(-2,0)作斜率为2的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(2,0)是椭圆的右焦点,求△F2MN的面积.
C级学科素养创新练
12.(四川阆中中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l:x-y+27=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?
参考答案
培优课直线与椭圆的位置关系
1.C因为直线过定点(3,-1)且32
2.C联立y=x+1,x2
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B((x0,y0),
则x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23
故中点坐标为-23,1
3.B设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=x+m,x2
则x1+x2=-4m3,x1x2=2
所以弦长|AB|=1+12·
4.ACD∵椭圆C:x2
直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,
∴选项A,C,D中的直线被椭圆C:x2
5.x24+
因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以b2
又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为x2
6.4由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.
7.D由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.
∵|AF2|+|BF2|的最大值为5,
∴|AB|的最小值为3.
当且仅当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值,此时两交点坐标为-c,32,-c,-32,
代入椭圆方程可得c24+94b2
8.B依题意可得F(-1,0),设P(x,y),
则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为x22+y
所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,
故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.
9.-13
将y=x-1代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=
所以两个交点坐标为(0,-1),43,13,所以OA·OB=(0,-1)·43
10.-9易知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l:y=k).
将y=k2,得(k2+9)2=0,
得xM=x1+x22=-kbk2+9,y
则kOM·k=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.
11.解(1)因为2c=2
所以椭圆C的标准方程为x2
(2)由题意可知直线MN的方程为y=2(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立直线方程与椭圆方程可得5x2+82x+4=0,
所以x1+x2=-825,x1N|=
又因为F2(2,0)到直线MN的距离d=|2
所以△F2MN的面积为S=|MN
12.解(1)由题意可得2b=2
所以椭圆的标准方程为x2
(2)设平行于直线l的直线l的方程为x-y+m=0.
联立x24+
即72-12=0,
由Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=0,
解得m1=-7或m2=7.
结合图象(图略)可知当m1=-7时,直线l
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