数学学案：++直线和圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。3直线和圆的极坐标方程

2。4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程

1．能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程．

2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．

3．了解圆锥曲线统一的极坐标方程．

1．直线和圆的极坐标方程

(1）极坐标方程与曲线．

在极坐标系中,曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ）＝0来表示．如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：

①曲线C上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ，θ）＝0；

②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的__都在曲线C上．

那么方程φ（ρ，θ)＝0叫作曲线C的__________，曲线C叫作极坐标方程φ（ρ，θ)＝0的____．

（2）直线的极坐标方程．

直线l经过极点,倾斜角为α,则直线l的极坐标方程是__________．

（3）圆的极坐标方程．

①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是______；

②圆心在(a，0）（a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是________．

【做一做1－1】在极坐标系中,过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))），且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．

【做一做1－2】在极坐标系中，圆心在点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a，\f（π，2)）)（a＞0）处,且过极点的圆的极坐标方程是(）．

A．ρ＝2acosθB．ρ＝2asinθ（0≤θ≤π)

C．ρ＝atanθD．ρ＝2atanθ（0≤θ≤π）

2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可以顺利完成．

点的直角坐标与极坐标互化关系如下：

（1）点M的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x，y)的公式：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝，，y＝；））

(2）点M的直角坐标(x，y）化为极坐标(ρ，θ）的公式：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ρ2＝，，tanθ＝?x≠0?。)）

【做一做2－1】极坐标方程cosθ＝eq\f（\r(2）,2）（ρ≥0）表示的曲线是(）．

A．余弦曲线B．两条相交直线

C．一条射线D．两条射线

【做一做2－2】直角坐标方程x2＋（y－2）2＝4化为极坐标方程为__________．

3．圆锥曲线统一的极坐标方程

圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ＝________，

当0＜e＜1时，它表示____；

当e＝1时，它表示______;

当e＞1时,它表示______．

【做一做3】把极坐标方程ρ＝eq\f(4,2－cosθ）化为直角坐标方程．

1．求曲线的极坐标方程的步骤

剖析:(1）建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ）是曲线上的任意一点;（2）由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f(ρ，θ)＝0；（3)将列出的关系式f（ρ,θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程;（4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．

2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项

剖析:（1）两组公式是在三个条件规定下得到的;

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的,但一般约定只在规定范围内求值;

（3）由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简；

(4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．

答案：

1．(1)①至少有一组(ρ，θ)②点极坐标方程曲线

（2）θ＝α（ρ∈R）（3）①ρ＝r②ρ＝2acosθ

【做一做1－1】ρsinθ＝2(ρ≥0)如图，设P（ρ，θ)（ρ≥0)为所求直线上任意一点，

在Rt△OMP中，

ρcoseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)－θ）)＝2（ρ≥0），即ρsinθ＝2（ρ≥0)．

【做一做1－2】B如图所示，圆与射线OP的交点为Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2a，\f(π，2）)），在圆上任取一点M(ρ，θ），连接OM和MP,则有OM⊥MP,在Rt△MOP中,

由Rt△MOP的边角关系可得

ρ＝2acoseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－θ)）＝2asinθ（0≤θ≤π）．

2．（1）ρcosθρsinθ(2)x