专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1空间向量概念的理解】 2

【题型2空间向量的加减运算】 4

【题型3空间向量的线性运算】 6

【题型4由空间向量的线性运算求参数】 8

【题型5向量共线的判定及应用】 11

【题型6由空间向量共线求参数】 14

【题型7向量共面的判定及应用】 16

【题型8由空间向量共面求参数】 18

【知识点1空间向量的概念】

1．空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度或模：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

(4)几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量(平行向量)

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；

(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.

【题型1空间向量概念的理解】

【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（?????）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果a=0，则

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.

【解答过程】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；

对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；

对于C，如果a=0，则a=0

对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.

故选：A.

【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（????）

A．任一空间向量与它的相反向量都不相等

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.

【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；

对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；

对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；

对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.

故选：C.

【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：

①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n

其中假命题的个数是（????）.

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.

【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，

则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.

②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，

而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.

③真命题.向量的相等具有传递性.

④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，

但方向不一定相同，以不一定相等.

⑤假命题.零向量的方向是任意的.

故选：D.

【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：

①零向量没有方向；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量a,b满足a=

④若空间向量m,n,p满足

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确命题的个数为（????）

A．4 B．3

C．2 D．1

【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.

【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；

当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和