湘教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第2章 空间向量与立体几何 2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 (2).docVIP

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2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量

A级必备知识基础练

1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是()

A.(0,-3,1) B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)

3.设A是空间一定点,n为空间内任一非零向量,满足条件AM·n=0的点M构成的图形是()

A.圆 B.直线 C.平面 D.线段

4.已知向量AB=(2,3,0),AC=(1,0,1),则平面ABC的一个法向量为()

A.(3,2,-3) B.(3,2,3)

C.(3,-2,3) D.(3,-2,-3)

5.[山东高二月考]已知直线l1的一个方向向量a=(1,2,x),直线l2的一个方向向量b=(5,y,1),若|a|=5,且l1⊥l2,则x+y=()

A.52或-35

C.-52 D.

6.[江苏高一月考]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为.?

B级关键能力提升练

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是()

A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)

C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)

8.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是()

A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)

B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)

C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

9.已知点P是过点A(0,1,1)且方向向量为v=(1,0,0)的直线上的一点,若|AP|=3,则点P的坐标是.?

10.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM是平面BDF的一个法向量.

C级学科素养创新练

11.在四棱锥A1-BCDE中,A1E⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,EB∥DC,DE⊥EB,EB=ED=1,DC=2,△A1ED为等腰直角三角形,点F在棱A1C上,若点P为DB的中点,且PF∥平面A1ED,则点F的坐标为()

A.(12,34,

C.(12,34,1

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量

1.A∵AB=(2,4,6),∴l的一个方向向量应平行于AB.故选A.

2.D同一个平面的法向量平行,故选D.

3.CM构成的图形经过点A,且是以n为法向量的平面.

4.D设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·

5.A因为a=(1,2,x),|a|=5,所以1+4+x2=25,解得x=±25.

当x=25时,a=(1,2,25),因为l1⊥l2,所以a·b=5+2y+25=0,解得y=-352,x+y=

当x=-25时,a=(1,2,-25),因为l1⊥l2,所以a·b=5+2y-25=0,解得y=52,x+y=-3

综上,x+y为52或-3

6.m=(0,1,1)(答案不唯一)根据题意,设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),

则DC=(1,0,0),AD=(0,1,-1),

设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),

则有DC·

则m=(0,1,1).

7.B设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),

∴AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,

则n·

所以能作为平面AEF的法向量的只有选项B.

8.AC由题意,B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),∵BD

∴向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,B不正确;

设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),则n

由CB1=(0,-1,1),CD1

由CB1=(0,-1,1),CD=(-1,0,0),得

故选AC.

9.(3,1,1)或(-3,1,1)设P(x,y,z),AP=(x,y-1,z-1),因为AP∥v,所以AP=λ