数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案).docVIP

第二十二章曲面积分

4场论初步

一、场的概念

概念：若对全空间或其中某一区域V中每一点M，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V上给定了一个数量场(或向量场).

温度场和密度场都是数量场.若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0,

则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.

曲面上函数u都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.

重力场和速度场都是向量场.设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),则A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),

其中P,Q,R为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.

设向量场中的曲线L上每点M处的切线方向都与向量函数A在该点的方向一致，即==,则称曲线L为向量场A的向量场线.如,

电力线、磁力线等都是向量场线.

二、梯度场

概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数gradu=,

且gradu的方向是使达到最大值的方向,其大小为u在这个方向上的方向导数.所以可定义数量场u在点M处的梯度gradu为在M处最大的方向导数的方向，及大小为在M处最大方向导数值的向量.

因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关.由梯度给出的向量场，称为梯度场.

又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c的法线方向为,所以

gradu的方向与等值面正交,即等值面法线方向.引进符号向量：

▽=.将之视为运算符号时,gradu=▽u.

基本性质：若u,v是数量函数,则

1、▽(u+v)=▽u+▽v；

2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v.特别地▽u2=2u(▽u)；

3、若r=(x,y,z),φ=φ(x,y,z),则dφ=dr▽φ；

4、若f=f(u),u=u(x,y,z),则▽f=f’(u)▽u；

5、若f=f(u1,u2,…,un),ui=ui(x,y,z)(i=1,2,…,n),则▽f=.

证：1、▽(u+v)==

=+=▽u+▽v.

2、▽(uv)==

=+=u+v

=u(▽v)+(▽u)v.当u=v时，有▽u2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v=2u(▽u).

3、∵dr=dx+dy+dz,▽φ=,

∴dr▽φ=(dx+dy+dz)==dφ.

4、∵▽f==,

又▽u=,f’(u)=,

∴f’(u)▽u===▽f.

5、▽f==

===.

例1：设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于M(x,y,z),记OM=r=,求的梯度.

解：=.

注：若以r0表示上的单位向量，则有=,

表示两质点间引力方向朝着原点,大小是与质量的乘积成正比,

与两点间的距离的平方成反比.

这说明引力场是数量函数的梯度场.所以称为引力势.

三、散度场

概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V上的向量函数,

对V上每一点(x,y,z),定义数量函数D(x,y,z)=,则

称D为向量函数A在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=divA(x,y,z).

设n0=(cosα,cosβ,cosγ)为曲面的单位法向量,则

=n0dS就称为曲面的面积元素向量.于是得高斯公式的向量形式：

=.

在V中任取一点M0,对应用中值定理,

得=divA(M*)·△V=,其中M*为V中某一点，于是有

divA(M*)=.令V收缩到点M0(记为V→M0)则M*→M0,因此

divA(M0)=.

因和△V都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.

由向量场A的散度divA构成的数量场，称为散度场.

其物理意义：divA(M0)是流量对体积V的变化率，并称它为A在点M0的流量密度.

若divA(M0)0,说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.

反之，若divA(M0)0,说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇.

若向量场A中每一点皆有divA=0,则称A为无源场.

向量场A的散度的向量形式为：divA=▽·A.

基本性质：1、若u,v是向量函数,则▽·(u+v)=▽·u+▽·v；

2、若φ是数量函数,F是向量函数,则▽·(φF)=φ▽·F+F·▽φ；

3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数,则▽·▽φ=.

证：1、记u(P1(x,y,z),Q1(x,y,z),R1(x,y,z)),v(P2(x,y,z),Q2(x,y,z),R2(x,y,z)),

则▽·(u+v)=

==▽·u+▽·v.

2、▽·(φF)==

=φ+(P,Q,R)=φ▽·