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直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

一、知识与技能

使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

二、过程与方法

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

三、情感、态度与价值观

介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

【教学重难点】

1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

【教学过程】

一、新课引入

已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8

米，那么猫头鹰至少飞过多少米？

二、探究定理

（一）画一画：

让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折

成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三

角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．

（二）做一做

1．如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有

什么关系。

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正方形PQR

面积91625

思考：

（1）这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？

（2）这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？

（3）正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？

（4）我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，

斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？

2．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边

222

也满足勾+股=弦吗？

（三）议一议

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

（四）猜一猜

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠

C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2

过渡语：

猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已

想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创

造的一种证法。

（五）探一探（小组活动）

1．请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分

别标好a，b，c，拼出一个边长为c的正方形，利用面积相等进行证明，如图。

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小组合作探究，思考：

（1）你拼的四边形是正方形吗？为什么？

（2）图中分别有几个正方形？几个直角三角形？

（3）大正方形由哪几个图形构成？

（4）它们的面积之间满足什么样的关系？

（5）分别怎么来表示它们的面积？

2．证明：如图2（赵爽弦图）所示，其等量关系为：

4S+S=S

△小正大正

1

22=c2

即：4×ab＋（b－a），化简可证。

下图证明