上海市高二数学下学期期中模拟试卷(1)(测试范围:坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用)解析版_1.docx

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2023-2024学年高二数学下学期期中模拟试卷(1)

考试时间:120分钟满分:150分测试范围:坐标平面上的直线、圆锥曲线、导数及其应用

一、填空题(满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)

1.点到直线的距离最大值是.

【分析】先求出直线所过定点,再结合两点之间的距离公式,即可求解.

【解答】解:直线,过定点,

故点到直线的距离最大值是:,

故答案为:.

【点评】本题主要考查点到直线的距离公式,属于基础题.

2.使直线与直线平行,求.

【分析】根据已知条件,结合直线平行的性质,即可求解.

【解答】解:直线与直线平行,

则,化简整理可得,,解得或,

当时,直线,重合,不符合题意,

当时,直线,不重合,符合题意,

综上所述,.

故答案为:.

【点评】本题主要考查直线平行的性质,属于基础题.

3.已知抛物线经过点,则抛物线的准线方程是.

【分析】把点代入抛物线方程,解方程可得,求得抛物线的准线方程;

【解答】解:抛物线经过点.可得,即,

可得抛物线的方程为,准线方程为.

故答案为:.

【点评】本题考查抛物线的几何性质,属基础题.

4.已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率为2.

【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线,再用点到直线的距离公式建立,,的等量关系式,计算可得结果.

【解答】解:双曲线的渐近线为:,即,

因为右焦点到一条渐近线的距离为,

所以,

即,

解得,

又,

所以,

因为,所以,

故答案为:2.

【点评】本题考查了双曲线的性质,重点是离心率的计算,属于基础题.

5.直线的倾斜角为.

【分析】直接利用直线的方程求出直线的倾斜角.

【解答】解:由于直线,

故该直线垂直于轴,

故直线的倾斜角为.

故答案为:

【点评】本题考查的知识要点:直线的倾斜角,主要考查学生的理解能力,属于基础题.

6.古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论:“平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中,已知点,,点满足,设点的轨迹为圆,点为圆心,若直线与圆相交于,两点,且,则或.

【分析】设点,由求出圆方程,根据截圆弦长求得值.

【解答】解:设点,点满足,

化为:,即点的轨迹圆,圆心,半径.

圆心到直线的距离,

,解得或.

故答案为:或.

【点评】本题主要考查轨迹方程的求法,直线与圆的的位置关系,考查运算求解能力,属于基础题.

7.已知函数,则(1)7.

【分析】求出的导数,再将代入,即可得答案.

【解答】解:因为,

所以,

所以(1).

故答案为:7.

【点评】本题主要考查导数的运算,属于基础题.

8.请写出直线的一个法向量.(答案不唯一).

【分析】直线的斜率,与直线垂直的直线的斜率为,求出与垂直的一条直线,由此能求出直线的一个法向量.

【解答】解:直线的斜率,

与直线垂直的直线的斜率为,

在直线中,当时,,

设与垂直的一条直线为,

过点,,

直线的一个法向量.

故答案为:.(答案不唯一).

【点评】本题考查直线的斜率、直线与直线垂直的性质、直线的法向量等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为2.

【分析】求出双曲线的渐近线方程,求得圆心到渐近线的距离,再由直线和圆相交的弦长公式,解方程即可得到,进而得到实轴长.

【解答】解:双曲线的渐近线方程为,

即,

圆的圆心为,半径为,

由圆的弦长公式得弦心距,

另一方面,圆心到双曲线的渐近线的距离为

解得,即,

该双曲线的实轴长为.

故答案为:2.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆相交的弦长公式,考查点到直线的距离公式,属于基础题.

10.已知为椭圆上一动点,记原点为,若,则点的轨迹方程为.

【分析】先设点,再由应用相关点法求轨迹方程即可.

【解答】解:设点,由得点,而点为椭圆上的任意一点,

所以,整理得,

所以点的轨迹方程是.

故答案为:.

【点评】本题考查轨迹方程的求解,相关点法的应用,属中档题.

11.若点满足方程,则点的轨迹是抛物线.(填圆锥曲线的类型,填方程不给分)

【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式,结合抛物线的定义即可求解.

【解答】解:由,得,

所以等式左边表示点到点的距离,右边表示点到直线的距离,

即点到点的距离与到直线的距离相等.

又因为点不在直线上,

由抛物线的定义知,点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线.

故答案为:抛物线.

【点评】本题考查的知识要点:两点间的距离公式和点到直线的距离公式,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.

12.曲线,给出下列结论:

①曲线关于原点对称;

②曲线关于坐标轴对称;

③曲线上只经过6个整数点(即横、纵坐

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