北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 空间向量与立体几何 2.1--2.2.docVIP

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§2空间向量与向量运算

2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算

必备知识基础练

1.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=

A.AD与CB B.

C.AC与DB

2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则AE-

A.BD B.DB

C.12BD

3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()

A.-6 B.6 C.3 D.-3

4.在四边形ABCD中,若AB=DC,且|AC|=|

A.菱形 B.矩形

C.正方形 D.不确定

5.已知空间向量a,b,c两两夹角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|=.?

6.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,a,b=135°,m⊥n,则λ=.?

7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3,设AB=a,AC=b,AD=c,试用a,b,c表示BG,

8.如图所示,已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=1,M,N分别是AB,SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值.

关键能力提升练

9.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则AB+

A.AN B.CN

C.BC D.1

10.在四面体A-BCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC中点,则EF=()

A.AC+

B.-1

C.12

D.-1

11.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则a,b=()

A.30° B.45° C.60° D.90°

12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列说法,其中正确的有()

A.(AA1+AD

B.A1C·(

C.AD

D.正方体的体积为|AB·

13.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则

14.设向量a与b互相垂直,向量c与它们的夹角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)·(3b-2a)=.?

15.如图,在正四面体A-BCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12

学科素养创新练

16.如图所示,已知平行六面体ABCD-ABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,∠BAD=90°,∠BAA=∠DAA=60°.

(1)求线段AC的长;

(2)求AC

答案：

1.D因为AB=

所以DO=

2.D3.B

4.B若AB=DC,则AB=DC,且AB

又因为|AC|=|BD|,即AC=BD,所以四边形ABCD为矩形.

5.5因为|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60°,

所以|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b-4b·c+4a·c=5,所以|a-b+2c|=5.

6.-3

7.解BG=BM+MG=BM-14AM=BM-14(AB

BN=AN-AB=

8.解设SA=a,SB=b,SC=c,则|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c三个向量两两夹角均为60°,

所以a·b=b·c=a·c=12.因为SM·BN

=12(a+b)·12c-b

=1212a·c-a·b+1

=12×12×

=-12

设异面直线SM与BN所成角为α.

所以cosα=|cosSM,BN|=SM·

9.A

10.B如图,在四面体A-BCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC中点,所以EF

=1

=-12

即EF=-12

故选B.

11.B

12.AB如图所示,

(AA1+AD+AB)2=(AA

A1C·(A1

AD1与A1B的夹角是

正方体的体积为|AB||AA1||

13.等腰三角形因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(

所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|

所以|AB|=|AC|,

即△ABC是等腰三角形.

14.-62

15.解∵MN=MB+BC+CN=

∴MN·MN=-13AB+13AD+23AC·-13AB+13AD+23AC=19

16.解(1)∵AC

∴|AC|2=(AB+AD+AA)2=|AB|2+|AD|2+|AA|2+2(AB

∴|AC|=85,即线段AC的长为85

(2)设AB=a,AD=b,AA=c,依题意AC·AC=(a+b+c)·(a+b)=a2+2a·b+b

∴cosAC,AC