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第6章腐蚀，膨胀，细化算法

这一章的内容我认为是最有趣的。还记得前言中那个抽取骨架的例子吗？现在我们就来看看它是如何实现的。

今天所讲的内容属于一门新兴的学科：数学形态学(MathematicalMorphology)。说起来很有意思，它是法国和德国的

科学家在研究岩石结构时建立的一门学科。形态学的用途主要是获取物体拓扑和结构信息，它通过物体和结构元素

相互作用的某些运算，得到物体更本质的形态。在图象处理中的应用主要是：(1)利用形态学的基本运算，对图象进

行观察和处理，从而达到改善图象质量的目的；(2)描述和定义图象的各种几何参数和特征，如面积、周长、连通度、

颗粒度、骨架和方向性等。

限于篇幅，我们只介绍二值图象的形态学运算，对于灰度图象的形态学运算，有兴趣的读者可以阅读有关的参考书。

在程序中，为了处理的方便，还是采用256级灰度图，不过只用到了调色板中的。和255两项。

先来定义一些基本符号和关系。

1.元素

设有一幅图象X,若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a£X,如图6.1所示。

2.B包含于X

设有两幅图象B,Xo对于B中所有的元素ai,都有ai£X,则称B包含于(includedin)X,记作B匚X,如图6.2所

0

3.B击中X

设有两幅图象B,Xo若存在这样一个点，它即是B的元素，又是X的元素，则称B击中(hit)X,记作BTX,如图

6.3所示。

4.B不击中X

设有两幅图象B,Xo若不存在任何一个点，它即是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，则称B不击

中(mi)X,记作BAX=①；其中G是集合运算相交的符号，①表示空集。如图6.4所示。

图6.3击中图6.4不击中

5.补集

设有一幅图象X,所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作X。，如图6.5所示。显然，如果BAX二①,

则B在X的补集内，即BCXco

6.结构元素

设有两幅图象B,Xo若X是被处理的对象，而B是用来处理X的，则称B为结构元素(structureelement),又被形

象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。

7.对称集

设有一幅图象B,将B中所有元素的坐标取反，即令(x,y)变成(-X,-y),所有这些点构成的新的集合称为B的对称

集，记作B,如图6.6所示。

8.平移

设有一幅图象B,有一个点a(xo,y。)，将B平移a后的结果是，把B中所有元素的横坐标加x0,纵坐标加y°,即令(x,

y)变成(x+xo，y+yo),所有这些点构成的新的集合称为B的平移，记作Ba，如图6.7所示。

图6.6对称集的示意图图6.7平移的示意图

好了，介绍了这么多基本符号和关系，现在让我们应用这些符号和关系，看一下形态学的基本运算。

6.1腐蚀

把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba包含于X,我们记下这a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被

B腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为：E(X)={alBaCX}=X©B,如图6.8所示。

图6.8腐蚀的示意图

图6.8中X是被处理的对象，B是结构元素。不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a,Ba包含于X,所以X被

B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么

叫腐蚀的原因。

值得注意的是，上面的B是对称的，即B的对称集BJB,所以X被B腐蚀的结果和X被B腐蚀的结果是一样的。

如果B不是对称的，让我们看看图6.9,就会发现X被B腐蚀的结果和X被腐蚀的结果不同。

图6.9结构元素非对称时，腐蚀的结果不同

图6.8和图6.9都是示意图，让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。

在图6.10中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B,那个标有origin的点是中

心点，即当前处理元素的位置，我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是，拿B的中心点和X上的

点一个一个地对比，如果B上的所有点都在X的范围内，则该点保留，否则将该点去掉；右边是腐蚀后的结果。可

以看出，它仍在原来X的范围内，且比X包含的点要少，就象X被腐蚀掉了一层。