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5.3诱导公式6题型分类
一、角的对称
(1)角π+α的终边与角α的终边关于原点对称,如图(a);
(2)角-α的终边与角α的终边关于x轴对称,如图(b);
(3)角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称,如图(c).
二、诱导公式
公式二sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα
公式三sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα
公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα
(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式,它们可概括如下:
①记忆方法:2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一
个把α看成锐角时原函数值的符号,可以简单地说成“函数名不变,符号看象限”.
②解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负
号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原三角函数是取正值还是负值,如sin(π+α),若把α看
成锐角,则π+α在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin(π+α)=-sinα.
(2)利用诱导公式一和三,还可以得到如下公式:
sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,
tan(2π-α)=-tanα.
三、诱导公式五、六
(1)公式五、六中的角α是任意角.
π
(2)诱导公式一~六中的角可归纳为k·±α的形式,可概括为“奇变偶不变,符号看象限”.
2
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
π
②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的.
2
ππ
③“象限”指k·±α中,将α看成锐角时,k·±α所在的象限,根据“一全正,二正弦,三正切,
22
四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.
(3)利用诱导公式五、六,结合诱导公式二,还可以推出如下公式:
3π3π
sin(2-α)=-cosα,cos(2-α)=-sinα,
3π3π
sin(2+α)=-cosα,cos(2+α)=sinα.
(一)
给角求值
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化;
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角;
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角;
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
题型1:给角求值
1-12024··
.(高全国专题练习)求下列各式的值.
(1)sin1470°;
9π
(2)cos;
4
æ11πö
(3)tanç-÷.
è6ø
æ43pö
(4)sinç-÷;
è6ø
°°°
(5)cos-120sin-150+tan855.
1-22024··
.(高全国课堂例题)利用公式求
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