1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学课公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

1.2.2基本初等函数的导数公式

及导数的运算法则（第三学时）

1.基本求导公式:一、知识回想：

2.导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一种函数的导数乘第二个函数,加上第一种函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一种函数的导数乘第二个函数,减去第一种函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:

解:(1)∵y=3x3+6x,∴y?=(3x3)?+(6x)?例1：求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x3)2;(2)∵y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1);(4)y=(2x2+3)(3x-2).=9x2+6.∴y?=4?+(4x3)?+(x6)?=12x2+6x5.(3)∵y=2x3-2x2+x-1,∴y?=6x2-4x+1.(4)∵y=6x3-4x2+9x-6,∴y?=18x2-8x+9.

例2:求下列函数的导数:答案:

例3：已知f(x)的导数f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)0的解集.解:∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)0,由于a≥2,则当a=2时,不等式f(x)0的解集为(-∞,-1);当a2时,不等式f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).

例4：已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0?0),求直线l的方程及切点坐标.解:由已知直线l过原点且其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y?=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y?|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整顿得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x0?0).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).3832注有关曲线的切线问题,可考虑运用导数的几何意义.曲线C在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.

例5：求曲线y=2-x2与y=x3-2的交点处切线的夹角(用弧度数作答).1214解:由y=2-x2与y=x3-2联立方程组解得交点坐标为P(2,0).1214∵y=2-x2的导函数为y=-x,12∴它在P处的切线斜率k1=-2,同理,曲线y=x3-2在P处的切线斜率k2=3,14由夹角公式tan?=||=1得k2-k11+k2k1?4?=.故两曲线的交点处切线的夹角为.?4

例6:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.因此所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

练习1：求下列函数的导数:(1)y=(x2+1)(x-2);(2)y=(x-1)(x3+2x+6).解:(1)∵y=x3-2x2+x-2,∴y?=(x3)?-(2x2)?+(x)?-2?(2)∵y=x4-x3+2x2+4x-6,=3x2-4x+1.∴y?